Napisał Ludwig van Beethoven 32 wariacje c-moll. Napisał Fryderyk Chopin Nokturn cis-moll. Nuta C – od niej się gama zaczyna. Na niej się kończy: CDEFGAH i znów C. I tak w kółko, lub lepiej: po spirali.
Oto Władysław Szpilman, upamiętniony zresztą w filmie Polańskiego „Pianista”, gra Nokturn cis-mol:
A tu Glenn Gould gra 32 wariacje c-moll na temat własny Beethovena:
Szpilmana lubię, Goulda lubię, lubię też Chopina, a jeszcze bardziej Beethovena. Kocham zaś C.
Nie, nie dlatego, że C to jak Cassiopaea, ale dlatego, że C to jak „complex”, i C to jak Cayley. „Complex numbers - liczby zespolone, to matematyczny odpowiednik przepięknych nokturnów, wariacji i sonat. Ileż tam piękna! Ileż dziwności. Piękno bez końca. Lub może: z końcem w nieskończoności. Nie bójmy się nieskończoności! Ona jest oswajalna. Na przykład przez transformatę Cayleya. I tej właśnie transformacie poświęcona będzie dzisiejsza notka. A także notka następna, bo na jedną zbyt wiele materiału.
Areną naszą jest zwykła płaszczyzna liczbowa z osiami x i y. Możemy na niej rysować wektory. Te wychodzące z początku O i kończące się grotem w puntach płaszczyzny:
Czasem wygodnie jest mówić o punktach, czasem o wektorach. Wektory można dodawać. Zasada równoległoboku. Ale by tak wektory dodawać potrzebna jest kartka papieru i ołówek. Prościej dodaje się punkty płaszczyzny operując na współrzędnych punktów (x,y). Dodawanie jest wtedy nadzwyczaj proste: dodajemy iksy i dodajemy igreki:
(x,y) + (x',y') = (x+x',y+y')
Możemy też wektory wydłużać lub skracać. Krótko: skalować. I znów we współrzędnych (x,y) jest to proste. Przeskalować przez liczbę c? Jasne:
c(x,y) = (cx,cy)
Gdy c = 2 – wydłużamy wektor dwukrotnie. Gdy c = 1/2 – skracamy. Gdy c = -1 – odbijamy względem początku.
Skoro możemy punkty płaszczyzny dodawać do siebie i mnożyć przez liczby, czemu by ich nie mnożyć i nie dzielić jeden przez drugi? Można by próbować takiej reguły:
(x,y)(x',y') = (xx',yy').
(x,y)/(x',y') = (x/x',y/y')
Taka reguła ma jednak tę wadę, że nie da się podzielić przez nieskończenie wiele punktów: nie da się podzielić przez (x,0) i nie da się podzielić przez (0,y) – jakie by nie były x lub y. Matematyk powie: tak zdefiniowane działania nie czynią z płaszczyzny ciała. Bo w ciele „każdy niezerowy element jest odwracalny”. A ciało jest też ważne, nawet jeśli dusza ważniejsza. Inaczej po cóż mielibyśmy ciała? Mamy je po to by móc wykonać pewne zadania.
I tak można dojść do liczb zespolonych i odpowiedniej reguły mnożenia. Ta reguła mnożenia czyniąca z płaszczyzny ciało wygląda tak:
(x,y)(x',y') = (xx'-yy',xy'+yx')
Widać, że reguła ta jest symetryczna – tak zdefiniowane mnożenie jest przemienne:
(x,y)(x',y') =( x',y')(x,y).
Spełnia ono też zwykłe prawa łączności i zachowuje się „jak trzeba” względem dodawania.
Można stąd wydedukować odwrotną do mnożenia regułę dzielenia. Ta jest nieco bardziej skomplikowana:
(x,y)/(x'y') = (xx'+yy',-xy'+yx')/(x'2+y'2)
Kłopot z dzieleniem mamy tylko wtedy gdy (x'2+y'2) = 0, a to zdarza się tylko wtedy gdy x=0 i y=0, czyli w jednym punkcie – w początku układu współrzędnych.
Uwaga: Pamiętajmy o tym, że współrzędne x i y są liczbami rzeczywistymi!
Reguły mnożenia i dzielenia wydają się być dość skomplikowanymi i trudnymi do zapamiętania. Stają się jednak proste gdy zamiast pisać (x,y) zapiszemy punkt płaszczyzny (x,y) jako
z = x + iy
przy czym umówimy się, że i2 = -1.
I tak doszliśmy do liczb zespolonych. Bowiem płaszczyzna interpretowana jako zbór z-tów postaci z = x + iy nazywa się właśnie płaszczyzną zespoloną i oznaczana jest zwykle literą C lubℂ.
C jak „Complex numbers”.
Mogąc mnożyć i dzielić, mamy do dyspozycji nieskończone szeregi innych możliwych operacji – transformacji dokonywanych na punktach płaszczyzny zespolonej. Bardzo ważną jest transformacja (lub transformata) Cayleya. I tej się teraz przyjrzymy. Transformata Cayleya to następująca operacja na liczbach zespolonych:
z → z' = (z-i)/(z+i)
Przeprowadza każdy z punktów z = x + iy płaszczyzny zespolone w nowy punkt z' = x' + iy' przy użyciu powyższej formuły. Każdy punkt? No, nie całkiem każdy, bo pojawia się problem gdy w mianowniku mamy zero, t.j. dla z+i = 0. Czyli z = -i. Czyli z = (0,-1). Poza tym jednym punktem każdy inny punkt płaszczyzny zespolonej przechodzi w jakiś, na ogół inny, punkt tej płaszczyzny.
Prostą formułę transformacji wyrażoną przez liczby zespolone można przepisać na skomplikowaną formułę wyrażoną przez liczby rzeczywiste x,y definiujące z = x + iy. Wygląda to w samej rzeczy skomplikowanie. Przejście od zespolonej formy transformaty Cayleya do formy rzeczywistej jest niezłym ćwiczeniem umiejętności algebraicznego władania liczbami zespolonymi. Wynik tego ćwiczenia jest taki:
x' =( x2+ y2- 1 )/( x2 + (y + 1)2)
y'= -2x/( x2 + (y + 1)2)
Oczywiście w czasach dzisiejszych możemy uprościć sobie nasze zadanie. Możemy mianowicie pójść do http://maxima-online.org/ i wpisać tam
z:x+%i*y;
w:(z-%i)/(z+%i);
x1:rat(realpart(w));
y1:rat(imagpart(w));
Następnie nacisnąć myszką „Calculate” i już mamy wynik. Pierwsza linijka to definicja z. Maxima ma symbol %i dla oznaczania „i”. Druga linijka to nasza transformacja. Użyłem "w" zamiast "z'", bo „prim” u Maximy może budzić nieporozumienia. W dwóch następnych linijkach biorę część rzeczywistą i urojoną w. Dodaję przy tym „rat()” - by Maxima wykonała działania i uprościła wynik. Jeśli chcemy, możemy wynik otrzymać jako obrazek: „Export to Image”.
To tyle ze wzorkami. A teraz przyjrzyjmy się temu co ta nasza transformata robi z płaszczyzną zespoloną. Miast płaszczyzny biorę jej część – kwadrat od -4 do +4. Początek układu współrzędnych w środku obrazka:
Na obrazek naniosłem trochę znaków identyfikacyjnych – byśmy mogli się odnaleźć gdy się pogubimy. Ale pogubimy się i tak! Bo oto wynik zastosowania transformaty Cyaleya do punktów naszego kwadratu-obrazka. Najpierw wycinek wyników transformaty, gdzie x',y' oglądamy tylko w przedziale od -1.5 do 1.5:
A tu możemy obejrzeć więcej od -3 do 3.
- Górna półpłaszczyzna przechodzi we wnętrze okręgu jednostkowego.
- Dolna półpłaszczyzna przechodzi w zewnętrze.
- Oś rzeczywista przechodzi w okrąg.
- V przechodzi w wykwintne 3
- ….
I jakich to dziwów jeszcze możemy się dopatrzeć? A co to ta biała plama? A, ta biała plama to miejsce na całą resztę płaszczyzny, poza obrazkiem. Ta cała nieskończona przecież reszta mieści się w białej plamie.
Można kontemplować i kontemplować: a gdzie się podziało to czy tamto?
W kolejnej notce zajmiemy się odwrotną transformatą Cayleya. Póki co tylko zaznaczę, że gdybym moją płaszczyznę naniósł na powierzchnię kuli, to żadnych białych plam by nie było! Można transformatę Cayleya zastosować do mapy na globusie i nic nam się nie zgubi! Ciekawe jak będzie wyglądała kula ziemska poddana transformacie Cayleya.... Prawdziwa katastrofa! Przesunięcie biegunów!
