Paradoksy matematyczne, gdy się im przyjrzeć – nie są aż tak znów paradoksalne. Co może wynikać z tego, że przyglądanie się paradoksom z bliska trochę nas męczy. Gdy zaś jesteśmy zmęczeni to albo wszystko wydaje się być paradoksem, albo nic.
Z drugiej strony jednak paradoksy mogą bawić. Wychodząc z tego właśnie założenia przedstawiam niniejszym jeden taki: dość blisko spokrewniony, ze swej natury, z paradoksem Banacha-Tarskiego o którym wspominałem w poprzedniej notce. Paradoks Banacha-Tarskiego dotyczy rozkładu kuli na skończoną ilość (np. pięć) części i złożenia z tych części dwóch kul takich jak ta wyjściowa. W dzisiejszej notce miast kuli weźmiemy okrąg. Podzielimy go na niekończenie wiele części (ale przeliczalnie wiele). Z tych części złożymy następnie dwa okręgi – takie jak ten wyjściowy.
A oto jak ta „konstrukcja” wygląda. Słówko „konstrukcja” biorę tu w cudzysłów, bo w czasie tej konstrukcji korzystamy z pewnika wyboru.
Rozważamy obroty okręgu. Te tworzą grupę. Zwykle oznaczamy ją przez SO(2) - „specjalna ortogonalna grupa w dwóch wymiarach”. „Specjalna”, bo obracamy jedynie, nie odbijamy. Każdy element tej grupy to obrót o jakiś kąt od 0 do 2π. Obrót o 0 to to samo co obrót o 2π – transformacja identycznościowa pozostawiająca każdy z punktów okręgu na swoim miejscu. Krótko oznaczmy naszą grupę literką G. Jest jasne, że każdy obrót (są to obroty sztywne, bez rozciągania i bez skracania) zachowuje długości łuków między dwoma punktami okręgu. Długość łuku to liczba z przedziału [0,2π]. Cały okrąg ma długość 2π.
Spośród wszystkich obrotów wyróżnijmy te, które są obrotami o wymierne wielokrotności 2π. Na przykład o π/5, 7π/26, 356π/7654 itd. Wystarczy rozważyć liczby wymierne pomiędzy 0 a 1 (włącznie). Te obroty tworzą podgrupę grupy G. Złożenie dwóch takich obrotów jest takim obrotem, odwrotność takiego obrotu jest takim obrotem. Oznaczymy ją przez G0.
Wprowadzamy na okręgu, parametryzowanym przez kąt od 0 do 2π, relację równoważności: punkty a i b nazywamy równoważnymi gdy b daje się otrzymać z a przez obrót z G0. Jeśli x=0 zaś y jest liczbą niewymierną, np. y=√2, wtedy xπ i y2π nie są równoważne. Natomiast 0 jest równoważne na przykład z każdą wymierną wielokrotnością π (czy 2π – na to samo wychodzi).
Każdy punkt okręgu należy do pewnej klasy równoważności. Na przykład do klasy wszystkich punktów jemu równoważnych. Dwie różne klasy równoważności są zawsze rozłączne jedna z drugą. Zbiór tych klas równoważności oznaczamy, jak to jest w zwyczaju, symbolem G/G0.
Dotąd jeszcze wszystko konstruowaliśmy. Teraz czas na wybór. Pewnik wyboru zapewnia nas, że z każdej klasy równoważności możemy wybrać po jednym elemencie.. Zatem wybierzmy. Wybrane elementy tworzą pewien zbiór. Nazwijmy go W. Otóż zobaczmy teraz, że zbiór W ma nieco paradoksalne własności.
Przede wszystkim zauważmy, że liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele. Możemy je ponumerować. Algorytm numerowania: po przekątnych – jak na obrazku:
Zatem nasza grupa G0 ma przeliczalnie wiele elementów. Więc ponumerujmy je: g1,g2,g3,g4,....
Weźmy nasz zbiór W i obróćmy go po kolei o g1,g2,g3,g4,.... Otrzymamy zbiory W1,W2,W3,W4,.... Zbiory W1 i W2 nie mają elementów wspólnych. Dlaczego? No bo załóżmy, że x należy do obydwu. Skoro x należy do W1, to daje się otrzymać z pewnego elementu x1 z W przez obrót g1 . Skoro x należy do W2, to daje się otrzymać z pewnego elementu x2 z W przez obrót g2. Ponieważ g2 jest różne od g1, to x2 jest różne od x1. Ale x2 daje się otrzymać z x1 przez wymierny obrót g2 złożone z odwrotnością g1. Stąd g1 and g2 należą do jednej i tej samej klasy równoważności. I tu mamy sprzeczność: bowiem dwa różne elementy W należą do dwóch różnych klas równoważności – Tak zbiór W „konstruowaliśmy”. By uniknąć sprzeczności trzeba przyjąć rozłączność W1 i W2 - to jedyne wyjście.
Podobnie przekonujemy się, że dowolne dwa zbiory Wk,Wl są rozłączne gdy k jest różne od l.
Co więcej, zbiory Wk, k=1,2,3,4..... pokrywają cały okrąg. Dowolny punkt okręgu należy bowiem do którejś z naszych klas równoważności. Skoro tak, to da się otrzymać z jednego z wybranych punktów (elementu zbioru W) przez jakiś wymierny obrót gi. Skoro tak, to należy do Wi.
Podzieliliśmy zatem okrąg na przeliczalnie wiele wzajemnie rozłącznych zbiorów W1,W2,W3,.... Podział ten jest paradoksalny w następującym sensie:
Weźmy zbiory W2,W4,W6,.... te ponumerowane liczbami parzystymi. Teraz W2 da się otrzymać z W1 przez wymierny obrót. W4 z W2, W6 z W3,W8 z W4.... Każdy ze zbiorów W2,W4,W6,W8 można otrzymać z odpowiednio W1,W2,W3,W4 przez obrót. Obroty zachowują długość (o ile takowa istnieje). Zatem łączna długość zbiorów W2,W4,W6,.... jest taka sama jak łączna długość zbiorów W1,W2,W3,... - a te składają się na cały okrąg o długości 2π . No i już mamy, że π = 2π .
Chyba... chyba, że zbiorom Wk nie można przypisać żadnej długości. I otóż to – zbiory Wk nie mogą być mierzalne zwykłą miarą długości przedziałów na okręgu. I już po paradoksie.
Ale, jak to? Nie mogą być mierzalne? Nawet długości zero nie można im przypisać? Ano nie można. Bo suma zer, choćby i przeliczalnie nieskończona, jest zerem.
Jak zaznaczyłem na początku paradoksy matematyczne, gdy się im przyjrzeć z bliska, bywają nieco męczące. Czy są zabawne? To zależy od naszego humoru w danej chwili.
W kolejnej notce przedstawię inną wersję podobnego paradoksu. Tym razem będziemy dzielić dysk (Poincarégo) a nie okrąg. I będziemy to robić z obrazkami.
