Wybory zwykle niespodzianek nie przynoszą – choć czasem, bywa, wyniki wyborów okazują się paradoksalne. I tak to jest ze słynnym „aksjomatem wyboru” bez którego współczesnej matematyce trudno się obejść.
Był rok 1904, kiedy to Ernst Zermelo, z wykształcenia fizyk teoretyk z Berlina, wprowadził kawa na ławę swój „aksjomat wyboru”. Aksjomat ten, dotyczący teorii mnogości, w oryginalnym sformułowaniu Zermelo brzmiał mniej-więcej tak (piszę „mniej-więcej”, bo tłumaczę dość luźno z tekstu angielskiego będącego tłumaczeniem z tekstu niemieckiego):
Oryg.
2) Jeder Teilmenge M' denke man sich ein beliebiges Element m1'zugeordnet, das in M' selbst vorkommt und das „ausgezeichnete“ Element von M' genannt werden möge.
(Mając dany dowolny zbiór M) Załóżmy, że z każdym podzbiorem M' (zbioru M) da się stowarzyszyć element m1' należący do tego zbioru (znaczy do M'). Element m1' nazwijmy „wybranym”.
Właściwie powinno być napisane z każdym niepustym podzbiorem M'.
I odtąd, w takim to czy innym sformułowaniu „pewnik wyboru” został wprowadzony do matematyki i matematyce trudno się bez niego obejść. W swej monografii „Teoria mnogości” Kuratowski i Mostowski wciąż jeszcze zaznaczali:
Aby uwidocznić rolę aksjomatu wyboru, zaznaczyliśmy kółeczkiem ° te twierdzenia, w których dowodzie pewnik jest użyty. Nadto dodaliśmy liczne jego zastosowania oraz uwagi, dotyczące roli aksjomatu wyboru w poszczególnych dowodach; wreszcie uzupełniliśmy nasz wykład dodatkiem, w którym przedstawiony jest jeden z najbardziej paradoksalnych wniosków, do których prowadzi aksjomat wyboru.
Ryszard Engelking w swej „Topologii ogólnej” już się nie patyczkuje, pisze, że będzie często używał pewnika wyboru bez żadnego zaznaczania. Sam Zermelo pisał tak:
But the question that can be objectively decided, whether the principle isnecessary for science, I should now like to submit to judgment by presentinga number of elementary and fundamental theorems and problems that, inmy opinion, could not be dealt with at all without the principle of choice.
Niemniej jest pytanie, na które można próbować szukać obiektywnej odpowiedzi: czy zasada ta jest niezbędna dla nauki? I to właśnie pytanie pragnę obecnie podać pod osąd prezentując szereg elementarnych twierdzeń i problemów, których, moim zdaniem, nie sposób rozstrzygnąć bez użycia pewnika wyboru.
Sam Zermelo był nieco dziwny. Był fizykiem teoretykiem z wykształcenia, wojował z Boltzmannem, swą karierę naukową zaczął od publikacji pracy o związku prawa zachowania energii z problemem „ciało-umysł”. Krąży o nim taka opowiastka:
Ernst Zermelo (1871-1953), niemiecki matematyk, jeden z tych, którzy stworzyli podstawy teorii mnogości, był prywatnym docentem, tzn. niezatrudnionym przez rząd wykładowcą, opłacanym stawką godzinową, na uniwersytecie w Getyndze. Dziekanem wydziału matematyki był w tym czasie inny wybitny uczony – Felix Klein (1849-1925). Dziekan trzymał twórcze wzloty swoich współpracowników ostro na wodzy. Otóż pewnego razu w czasie wykładania logiki matematycznej Zermelo zadał jednemu ze studentów następujące kłopotliwe pytanie:
„Każdy matematyk w Getyndze należy do jednej z dwóch klas: Jedni robią to co im samym się nie podoba, ale podoba się Kleinowi. Drudzy robią to, co im się podoba, ale nie podoba się Kleinowi. Do której z tych klas należy sam Klein?”
Nikt nie mógł na to pytanie znaleźć odpowiedzi.
-Ależ to oczywiste, zawołał Zermelo – Sam Klein nie jest matematykiem!
Trochę to dla Kleina niesprawiedliwe, ale niechaj już będzie – żarcik jest niezły.
Pewnik wyboru, choć wydaje się być dość niewinny w swym sformułowaniu, prowadzi jednak do paradoksów. Jeden z najbardziej znanych to paradoks Banacha-Tarskiego. W sformułowaniu z naszej Wikipedii:
Wygląda to w samej rzeczy paradoksalnie. Czy nie warto więc się rozejrzeć za alternatywnymi matematykami, tymi równie użytecznymi co dzisiejsza powszechnie stosowana, ale bardziej przylegającymi do rzeczywistości fizycznej? Może i warto, ale to wymagałoby przebudowywania wszystkiego od podstaw, a do tego jeszcze nie dojrzeliśmy technologicznie. W Bydgoszczy mieści się centrum międzynarodowego programu MIZAR.
Twórcą jest Andrzej Trybulec a program ma za zadanie sformalizowanie i skomputeryzowanie matematyki. Otóż, jak piszą Adam Naumowicz and Artur Korniłowicz w swoim „A Brief Overview of Mizar”:
When the systematic collecting of Mizar formalizations started around 1989, there were plans to build several libraries with different axiomatics, e.g. based on various set theories or on the Peano arithmetic. However, when it became apparent that simultaneous maintaining several such libraries was a non-trivial task, the decision was made to support only one centralized repository, which has evolved into today’s MML .
Krótko mówiąc: moce przerobowe nie pozwalają na razie na uwzględnienie innych aksjomatyk. Sam Mizar opiera się na aksjomatyce z pewnikiem wyboru, dodatkowo jeszcze wzmocnionym przez aksjomat Tarskiego gwarantujący istnienie „ of arbitrarily large strongly inaccessible cardinals” - cokolwiek to by miało znaczyć, zapewne prowadzi do jeszcze trudniejszych do przełknięcia paradoksów.
