Matematyka jest królową nauk. Matematycy to jej poddani. A fizycy, chemicy, inżynierowie to zapewne służący tych poddanych. Swoją królową dobrze znać. Stąd i mój cykl notek doszedł do punktu w którym szatom królowej trzeba poświęcić nieco uwagi.
U podstaw matematyki stoi teoria mnogości, zwana też teorią zbiorów. Przyjrzyjmy się temu jak matematycy wprowadzają to pojęcie. Na Youtube można znaleźć odpowiedni, ilustrujący film – zachęcam do jego obejrzenia:
Mamy tam matematyka dość jasno i przekonująco wprowadzającego pojęcie zbioru. Przekonująco, bo tam gdzie trzeba zmienia ton i siłę głosu ton głosu, czyni odpowiednie gesty mające zapobiec wątpliwościom. Tu i ówdzie o „problemach wewnętrznych matematyki” wspomina, jak np. o „nieistnieniu zbioru wszystkich zbiorów”.
I tak to jest w matematyce: jedne twory, zakłada się, że istnieją, inne, niestety, nie istnieją, choćbyśmy i chcieli.
Klasyczna monografia Kuratowskiego i Mostowskiego „Teoria mnogości” zaczyna się od zdania:
Teoria mnogości zawdzięcza swe powstanie pracom matematyków XIX stulecia, które miały na celu ugruntowanie podstaw analizy i zbadanie podstawowych pojęć tej nauki. Do pojęć tych należy pojęcie zbioru.
Dalej poznajemy nieco historię i ocieramy się o problemy:
Pierwsze prace, które ze względu na przedmiot ich badań, zaliczyć by można do teorii mnogości—jak prace Dedekinda, Du Bois-Reymonda — pisane były pod kątem widzenia bezpośrednich zastosowań do analizy. Dopiero G. Cantor w latach 1871—1883 publikuje szereg prac poświęconych specjalnie zbadaniu zasadniczych własności pojęcia zbioru; podaje w nich podstawowe definicje i twierdzenia teorii mnogości, które po dzień dzisiejszy stanowią najistotniejszą część tej teorii.
….
Od tego czasu datuje się powstanie teorii mnogości, jako samodzielnej gałęzi matematyki.
W pierwszych latach wieku XX-ego teoria mnogości przechodzi kryzys. Cantor budował teorię mnogości nie podając definicji zbioru, ani nie wprowadzając tego pojęcia aksjomatycznie; opierał się na intuicyjnym pojęciu zbioru. Metoda, ta dopuszczalna w stosunku do wielu elementarnych zagadnień teorii mnogości, okazała się zawodna w zastosowaniu do zagadnień bardziej subtelnych; mianowicie, zawodną okazała się intuicja pojęcia zbioru, która na niektóre narzucające się pytania nie dawała jednoznacznej odpowiedzi (np. czy istnieje zbiór wszystkich zbiorów?). W konsekwencji teoria mnogości stanęła wobec sprzeczności (tzw. antynomii), których na drodze samego tylko odwoływania się do intuicji rozwiązać nie było można.
…..
W ten sposób pojawienie się antynomii w pewnym okresie rozwoju teorii mnogości przyczyniło się w rezultacie do nadania tej dyscyplinie doskonalszych form, odpowiadających istotnemu jej postępowi. Postęp ten objawił się zarówno w dokładniejszym poznaniu podstaw teorii mnogości, jak i w postawieniu nowej problematyki.
Problematyka ta dotyczy pytania: jakie aksjomaty teorii mnogości . przyjąć należy? -W doborze aksjomatów danej teorii matematycznej nie mamy absolutnej swobody, lecz powinniśmy ten dobór umieć uzasadnić i dokonać go w taki sposób, ażeby teoria ta posiadała istotną wartość naukową, tj. żeby mogła służyć do poznania świata materialnego, czy to bezpośrednio, czy też za pośrednictwem innych działów matematyki, dla których jest narzędziem.
Z tego punktu widzenia jeden z aksjomatów Zermeli, tzw. aksjomat wyboru, spotkał się z wątpliwościami niektórych matematyków, którzy zakwestionowali aksjomat ten zwłaszcza z powodu niektórych jego konsekwencji, istotnie bardzo paradoksalnych. Czy paradoksalność tych konsekwencji aksjomatu wyboru należy uznać za argument za odrzuceniem tego aksjomatu, czy też wrażenie paradoksalności pochodzi z nie dość wykształconej, zbyt „naiwnej” intuicji zbioru - co do tego nie ma jednolitego stanowiska wśród matematyków.
Podstawom matematyki, w szczególności pewnikowi wyboru poświęcę zatem nieco miejsca w kolejnych notkach. Czy w aksjomaty trzeba wierzyć? A jeśli tak, to w które? Jakie religie mamy tu do wyboru i co one wyznawcom oferują?
A skąd się taka potrzeba u mnie wzięła? Otóż omawiając fraktale zahaczyłem o pojęcie „miary”. Miara jest niesłychanie ważna. Postanowiłem więc to pojęcie wyjaśnić. Wtedy pojawiło się pytanie: ale jak mam to zrobić? Czy istnieją zbiory niemierzalne? Jak się to ma do podstaw matematyki? Nie chcę machać rękami i omijać sprawy trudne. Stąd nasz przystanek w krainie mnogości.
