Napisać notkę nie jest tak prosto. Najpierw jest idea, Notka ma być na jakiś tam temat. Potem jest poszukiwanie dróg: jak to zrobić. Potem niezadowolenie. Obracanie idei w głowie. Wreszcie jakoś tam się idea krystalizuje – czasem dlatego, że ma się dość poszukiwań i ma się inne rzeczy do roboty. Jest coś takiego jak presja czasu - zbawienna. No tak, ale piszę o pisaniu. A teraz piszę o pisaniu o pisaniu, To proces iteracji. Iteracje mogą iść w głąb, mogą też iść na ekspansję. Myślę, myślę o tym, że myślę, myślę o tym, że myślę o tym, że myślę. Czy taki proces iteracji ma jakiś koniec? Zwykle ma. Choćby ze względów praktycznych. Na pewnym stopniu jesteśmy wystarczająco zadowoleni. Albo też: zasoby ,materialne nam się wyczerpały.
Oto śmiejąca się krowa.
Na kolczyku znowu śmiejąca się krowa. Z każdym punktem krowy możemy stowarzyszyć odpowiadający mu punkt na kolczyku. Mamy odwzorowanie z obrazka na fragment obrazka. Ze względu na rozdzielczość w tym przypadku nasza iteracja się kończy. A nie musiałaby, bowiem krowa na kolczyku ma kolczyki, a na kolczykach krowa z kolczykami.
- Drogi panie Kiciu-Dziwaku - zaczęła raczej nieśmiało, ponieważ nie wiedziała, czy forma ta przypadnie Kotu do gustu.(Kot uśmiechnął się jeszcze szerzej. Widzę, że mu się spodobało” - pomyślała Alicja). - Czy nie mógłby pan mnie poinformować, którędy powinnam pójść? - mówiła dalej.
- To zależy w dużej mierze od tego, dokąd pragnęłabyś zajść - odparł Kot-Dziwak.
- Właściwie wszystko mi jedno.
- W takim razie również wszystko jedno, którędy pójdziesz.
- Chciałabym tylko dostać się dokądś - dodała Alicja w formie wyjaśnienia
Lewis Caroll, „Alicja w krainie czarów”, Przełożył Antoni Marianowicz
Alicja dojdzie do „atraktora”. Mamy tu „błądzenie losowe” (wszystko jedno, którędy pójdziesz) i „iteracje” (jeśli tylko będziesz szła dość długo).
f(x):= x/2+9/(2*x);
Przyciskamy „Calculate”. Funkcja zdefiniowana. Obliczmy po kolei f(7), potem f(f(7)), potem f(f(f(7))) ….
float( f(7));
4.142857142857143
float(f(f(7)));
3.003934738670335
float(f(f(f(f(15)))));
3.009148561166938
float(f(f(f(f(f(f(f(100))))))));
3.002766742182557
Skąd byśmy nie wychodzili (byle nie od zera), dochodzimy do trójki. To jest pierwiastek z 9. A gdybyśmy w naszej funkcji zamiast 9 wpisali 16, dochodzilibyśmy do czwórki. Byle iść „dostatecznie długo”. Magia jakaś? Nie, nie magia. To czar Szkockiej Kawiarni, która mieściła się na piętrze budynku we Lwowie.
Dziś jest tam bank. Przed wojną zbierali się polscy matematycy ze Lwowskiej szkoły. Był młody Stefan Banach. Palili, pili piwo, tworzyli „polską szkołę matematyczną”.
Stefana Banacha „Twierdzenie o punkcie stałym” - oto i cała tajemnica. Mówią o tym dzisiejsi młodzi matematycy. Można ich posłuchać, choć z nagłośnieniem sali jest kiepsko.
Z fraktali bodaj najsłynniejszy jest „trójkąt Sierpińskiego”:
Zbiór Cantora był co prawda przed Sierpińskim, ale zbiór Cantora jest nudny. Trójkąt Sierpińskiego pociąga. Zmniejszmy trójkąt Sierpińskiego dwa razy, ściągając go lewego dolnego rogu. Co dostaniemy? Trójkąt Sierpińskiego! Zmniejszy i przesuńmy w prawo. Znów trójkąt Sierpińskiego. Lub: zmniejszmy i przesuńmy do góry. Znów ten sam trójkąt.
No to zróbmy tak: zacznijmy od kwadratu. Zmniejszmy dwa razy, przesuńmy w prawo, przesuńmy do góry środka:
Powtórzmy tą operację na wyniku:
Powtórzmy jeszcze kilka razy:
A może chcecie zacząć od pięciokąta?
Gdzie tu twierdzenie Banacha o punkcie stałym? Wiem, zaawansowana młodzież nie może się doczekać kiedy dojdę do czegoś nietrywialnego. Dojdę. Bylem szedł dostatecznie długo ….
