W naszej podróży po krainie grup i symetrii zahaczyliśmy o czwarty wymiar. Jak to się stało? Omawiałem bryły foremne – pięć brył platońskich. Bo w trzech wymiarach naszej przestrzeni jest ich pięć: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. W dwóch wymiarach jest ich nieskończenie wiele. Bowiem okrąg można podzielić na dowolną liczbę równych części. W czterech wymiarach jest sześć. A dalej jakoś ubogo: w każdej liczbie wymiarów większej od czterech tylko 3. Więc cztery to coś naprawdę wyjątkowego. W czterech wymiarach jest sześć wielościanów foremnych. Wśród tych sześciu pięć to odpowiedniki brył platońskich z trzech wymiarów. Szósta jednak jest czymś innym.
W trzech wymiarach (patrz poprzednia notka) czworościan jest samo-dualny. Sześcian i ośmiościan tworzą dualną parę. Podobnie dwunastościan i dwudziestościan. W czterech wymiarach mamy układ podobny. Dochodzi jednak ta szósta czterowymiarowa bryła – z konieczności jest samopodobna. Nazywa się ona 24-komórka – ang. 24-cell. Przejeżdżając przez czwarty wymiar przyjrzyjmy się temu dziwolągowi.
Ale jak tu się przyglądać, skoro nasze oczy są nieprzystosowane do widzenia w czterech wymiarach? Z pomocą przychodzi algebra. W jednym wymiarze punkt ma jedną współrzędną. Powiedzmy x.
W dwóch wymiarach punkt ma dwie współrzędne: (x,y). W trzech wymiarach punkt ma trzy współrzędne: (x,y,z). W czterech wymiarach …. Ktoś kto wymyślał nazwy współrzędnych miał słabą wyobraźnię. Bo z to ostatnia litera alfabetu. No dobrze, w czterech wymiarach punkt ma cztery współrzędne:
(w,x,y,z).
Cztery wymiary są szczególne, bo mieszkają tamkwaterniony. O kwaternionach kiedyś pisałem, nawet z niejakim polotem – patrz notka Z wizytą u Państwa Ikosińskich czyli jak znaleźć Prawdziwą Miłość. Tytuł był tak długi, że obcięło mi ostatnią, szóstą literę w słowie Miłość. Do tej miłości jest okazja dziś powrócić. Miłości nigdy nie za wiele.
Kwaterniony mieszkają w przestrzeni czterowymiarowej. Na osi pierwszej mamy zwykłe liczby rzeczywiste u=u 1. Na osi drugiej wielokrotności kwaternionu i, xi, na osi trzeciej wielokrotności kwaternionu j, yj, na osi czwartej wielokrotności kwaternionuk, zk. Ogólny kwaternion q zapisać może zatem jako:
q = w1 + xi +yj + zk
Czytamy tu „1 pomnozone przez w”, „i pomnożone przez x”, itd. Dodaje się kwaterniony prosto:
q = w1 + xi +yj + zk
q' = w'1 + x'i +y'j + z'k
q + q' = (w + w')1 + (x +x')i +(y + y')j + (z +z')k
Kwaterniony można jednak także mnożyć. Reguły mnożenia są proste – wymyślił je Hamilton:
i2 =j2 =k2 =ijk = -1
Stąd
ij = k = -ji
jk = i = -kj
ki = j = -ik
Przez 1 mnożymy normalnie. Mnożenie kwaternionów jest łączne:
(q q') q'' = q (q' q'' )
Jest jednak, na ogół, nieprzemienne:
q q' q' q
Każdy kwaternion ma swoją długość („normę”) – formuła podobna jak dla długości wektorów w trójwymiarowej przestrzeni:
||q|| = (w2 + x2 + y2 +z2)
Przy mnożeniu dwóch kwaternionów przez siebie mnożą się też ich normy:
||q q'|| = ||q|| ||q' ||
Dla każdego niezerowego kwaternionu q istnieje jedyny kwaternion odwrotny q-1.
Kwaterniony o normie jeden leżą na trójwymiarowej sferze w czterowymiarowej przestrzeni. Sfera ta dana jest równaniem:
w2 + x2 + y2 + z2 = 1.
Ponieważ iloczyn dwóch kwaternionów o normie jeden ma normę jeden, ponieważ odwrotność kwaternionu o normie 1 ma normę jeden, ponieważ mnożenie kwaternionów jest łączne – stąd kwaterniony o normie jeden tworzą grupę. Jest to ważna grupa, ważna w fizyce. Ma swoją nazwę: SU(2). Odpowiada za połówkowy spin elektronu i protonu. Jest „podwójnym nakryciem grupy trójwymiarowych obrotów SO(3)”. W SU(2) trzeba obrócić o 720 stopni by wrócić do punktu wyjścia. W SO(3) wystarcza normalne 360 stopni.
Interesują nas jednak grupy skończone. Czemu więc nie ograniczyć się do kwaternionów w których w,x,y,z byłyby tylko liczbami całkowitymi, na przykład 1? Jeśli chcemy by nasz kwaternion miał normę 1, tylko jedno z w,x,y,z może być (plus/minus)jedynką. Inne muszą być zerami. Jest takich kwaternionów osiem:
1, i, j,k
Mamy także ciekawą równość:
(½)2+(½)2 +(½)2+(½)2= 1
Wynika stąd, że kwaterniony w których każde w,x,y,z jest równe½ też mają normę jeden. Jest takich szesnaście:
½ + ½i+ ½j+ ½k
½ - ½ i+ ½ j+ ½ k
½ + ½ i- ½ j+ ½ k
½ + ½ i+ ½ j- ½ k
½ - ½ i- ½ j+ ½ k
½ - ½ i+ ½ j- ½ k
½ + ½ i- ½ j- ½ k
½ - ½ i- ½ j- ½ k
-½ + ½i+ ½j+ ½k
-½ - ½ i+ ½ j+ ½ k
-½ + ½ i- ½ j+ ½ k
-½ + ½ i+ ½ j- ½ k
-½ - ½ i- ½ j+ ½ k
-½ - ½ i+ ½ j- ½ k
-½ + ½ i- ½ j- ½ k
-½ - ½ i- ½ j- ½ k
Razem osiem i szesnaście jest dwadzieścia cztery. Te dwadzieścia cztery kwaterniony mają swoją nazwę: tojednostkowe kwaterniony Hurwitza. Ciekawe jest to, że iloczyn dwóch jednostkowych kwaternionów Hurwitza jest znów jednostkowym kwaternionem Hurwitza. Odwrotność jednostkowego kwaternionu Hurwiza jest jednostkowym kwaternionem Hurwitza. Jednostkowe kwaterniony Hurwitza tworzą zatem grupę. Ta grupa ma swoją nazwę: „binary tetrahedral group 2T” - po polsku brzmiałoby to jakoś tak: „podwójna grupa czworościenna”?
Czas by te nasze dwadzieścia cztery kwaterniony - 24-komórkę - przenieść z czterech abstrakcyjnych wymiarów do naszej wyobraźni. Pomoże nam grafika. Tym zajmę się w następnej notce. Na razie zauważmy, że nasze dwadzieścia cztery kwaterniony to część (podgrupa) większej, 120-elementowej, grupy o której pisałem w notce
Z wizytą u Państwa Ikosińskich czyli jak znaleźć Prawdziwą Miłość
Komentarze