Platonię zwiedzić warto. Jest tam pięć głównych atrakcji – to Bryły Platońskie. Lub, po prostu – wielościany foremne. Z wikipedyjskiej definicji:
Wielościan foremny (bryła platońska) – wielościan spełniający następujące trzy warunki:
ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,
w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian,
jest bryłą wypukłą.
Jest ich, ni mniej ni więcej, dokładnie pięć.
Tzn. pięć w naszych trzech wymiarach. Przy innej liczbie wymiarów przestrzeni byłoby inaczej. Można o tym wyczytać w Wikipedii. W czterech wymiarach jest takich brył sześć, zaś gdy przestrzeń ma więcej niż cztery wymiary – zawsze tylko trzy. Dziwne to trochę, ale tak jest. Trzy i cztery wymiary jakoś tam matematycznie wyróżnione.
Z pięciu brył trzy mają ściany trójkątne, jedna – kwadratową, jedna pięciokątną. Liczby 3,4,5 są jakoś tam wyróżnione.
Sześcian i ośmiościan są jakby bliźniakami. Sześcian ma sześć ścian i osiem wierzchołków. Ośmiościan ma osiem ścian i sześć wierzchołków. Podobnie parę dualną tworzą dwunastościan i dwudziestościan. Czworościan jest bez pary. To znaczy jest parą sam w sobie. Dziwny to układ.
Skoro jest takich tworów tylko pięć, zapewne są z jakiegoś powodu ważne. Zapewne też ważne są ich grupy symetrii i zapewne są jakoś tam wykorzystywane przez przyrodę przy budowie elementarnych składników materii. Chemicy pewnie o tym wiedzą.
O symetriach, grupach symetrii, od pewnego czasu piszę, więc czas teraz by zając się symetriami pięciu brył platońskich. Zwiedzanie Platonii będziemy wtedy mogli odfajkować.
Zacznijmy od czworościanu. Symetriami są tu obroty o wielokrotność 120 stopni wokół każdej z czterech osi przechodzących przez wierzchołek i środek przeciwległej ściany. Symetriami są też odbicia względem płaszczyzn przechodzących przez każdą parę wierzchołków i środek przeciwległej ściany. Jeśli ponumerujemy wierzchołki 1,2,3,4, to symetrią można przeprowadzić tak ponumerowane wierzchołki w dowolną inną ich permutację. Stąd grupa symetrii czworościanu foremnego to nic innego niż grupa permutacji liczb 1,2,3,4. T ma 4!=24 elementy. Grupa ta oznaczana jest symbolem S4.
Sześcian. Niewątpliwie symetrią można przeprowadzić każdy wierzchołek w każdy inny wierzchołek. Ponumerujmy wierzchołki 1,2,3,4,5,6,7,8. Mamy osiem możliwości. Gdy już tego dokonaliśmy, wtedy wierzchołek 2 możemy przeprowadzić w każdy z trzech wierzchołków połączonych z 1 krawędzią – trzy możliwości.
Gdy już wierzchołki 1 i 2 znalazły się w swoich punktach docelowych, wtedy wierzchołek 3 możemy pozostawić w miejscu lub wymienić z wierzchołkiem 4. Dwie możliwości. Razem 8x3x2 =48 elementów. Strukturę tej grupy symetrii wypadałoby bliżej zbadać, ale z grubsza biorąc będą to 24 obroty, każdy z nich można dodatkowo połączyć z odbiciem.
Ośmiościan foremny, jako bliźniak, będzie miał tę samą grupę symetrii.
Wypada się teraz zająć dwunastościanem. Rozumujemy podobnie jak w przypadku sześcianu. Wierzchołek 1 można przeprowadzić w dowolny inny z dwudziestu. To dwadzieścia możliwości.
Wtedy wierzchołek 2 można przeprowadzić w dowolny z trzech połączonych z 1 krawędzią. Gdy już 2 się usadowił, wtedy 3 można przeprowadzić w 4 odbiciem lub pozostawić na miejscu. Razem 20x3x2=120. Grupa symetrii dwunastościanu ma 120 elementów. Ta dopiero jest bogata!
Dwudziestościan, jako dualny do dwunastościanu, ma tę samą grupę symetrii.
Wszędzie tu pojawiały się odbicia. Grupami zbudowanymi z odbić zajmiemy się w kolejnych notkach. Odbicia bowiem są niezwykle ciekawym zjawiskiem w Przyrodzie.
W rzeczy samej każdy obrót i każde przesunięcie można otrzymać przez złożenie dwóch odbić! A odbić z obrotów i przesunięć złożyć się nie da.
Komentarze