No właśnie. Czemu nasza przestrzeń jest tka a nie inna? Skąd te trzy wymiary? Przypadek, jak chcą tego zwolennicy zasady antropicznej? Bo tak tę zasadę należy czytać. W jakiś tam bliżej nieokreślony sposób spośród nieprzeliczonej mnogości wszystkich możliwości znaleźliśmy się akurat w tej jednej …. Czy też „z powodu”. A jeśli z powodu, to konkretnie z jakiego powodu?
Pisałem kiedyś: „na początku były liczby pierwsze”. Pisałem też: „na początku była permutacja”. Dziś mamy okazję do tego wrócić. Na początku były liczby pierwsze, z nich powstały inne ciekawe liczby, takie jak 12, no i były też permutacje.
Zajmowaliśmy się ostatnio grupą parzystych permutacji zbioru cztero-elementowego. Grupa ta nazywa się „grupą alternującą A4” i ma dwanaście elementów. W paru ostatnich notkach rysowaliśmy grafy Cayleya tej grupy. Dzisiaj, jak obiecałem, wrócę do tego tematu.
Diagram Cayleya, jego postać, zależy od wyboru generatorów. Jaki jest najbardziej „naturalny”wybór generatorów dla naszej grupy? Nasza grupa przestawia liczby 1,2,3,4. Najprostsze generatory to cykle (123) i (234). Takie dwa kółka zębate. Zazębiają się na 2 i 3. Oznaczmy
A = (123) = (12)(13)
B = (234) = (23)(24)
Cykle (123) i (234) mieliśmy na obrazku z poprzedniej notki:
Mieliśmy
(123) = a
(234) = baa
Zatem
A=a
B = baa
Co możemy odwrócić:
a = A
b = baaa = Ba = BA
Narysujmy teraz diagram Cayleya. Narysowałem go. Oto on:
Niebieskie są strzałki mnożenia przez A, czerwone – mnożenia przez B (zawsze mnożymy z prawej strony). Zanalizujmy te narysowane przez mnie strzałki. Następujące strzałki nie wymagają objaśnień:
e → A
e → B
A → AA
AA → e (bo AAA = e)
B → BB
BB → e (bo BBB = e)
BB → BBA
….
I tak dalej.
Na diagramie zaznaczyłem strzałki, które oczywiste nie są.
Jak sprawdzić, że strzałki te są w istocie prawdziwe? Metoda pierwsza, to zapisać kod naszej grupy przez A i B i bawić się tożsamościami. Ale można też inaczej. Można wyrazić permutacje przez macierze permutacji i sprawdzać na macierzach. Więc tak zróbmy. Macierz A cyklu (123) to
[0,1,0,0] (1 przechodzi w 2)
[0,0,1,0] (2 przechodzi w 3)
[1,0,0,0] (3 przechodzi w 1)
[0,0,0,1] (4 pozostaje nieruszone)
Macierz B cyklu (234) to
[1,0,0,0]
[0,0,1,0]
[0,0,0,1]
[0,1,0,0]
Teraz możemy sprawdzić nasze strzałki ze znakami zapytania operując na macierzach. Sprawdzamy po kolei
BBAA - AB = ?1
BBAA - AB = ?1
AABAB - A= ?2
BBAAB - AABA = ?3
BBABA - B = ?4
BA - AABB = ?5
AABBA - BBAB = ?6
BBABBA - AAB = ?7
AABAA - BBABB = ?8
Używając jakiegokolwiek programu (np. Maxima) liczącego na macierzach powinniśmy otrzymać we wszystkich siedmiu przypadkach macierz zerową.
Zatem nasz diagram Cayleya jest dobry. Co on przedstawia? Jest to po prostu CUBOCTAHEDRON sześciu-ośmiościan foremny. Oto inne przedstawienie naszego diagramu, gdzie lepiej widać konfigurację przestrzenną:
A oto animacja:
Można go złożyć bawiąc się w origami (kliknij na obrazek by zobaczyć animację składania):
A tu można zobaczyć jak wyskakuje z niego serce:
Tak więc od permutacji czterech elementów (tych parzystych) doszliśmy do archimedesowskiej bryły regularnej w trójwymiarowej przestrzeni, a także do serca, a może i do duszy?
No, spekulować tu dalej nie będę, zachęcam jednak do zajrzenia do angielskiej Wikipedii choćby po to, by zobaczyć obrazki zawiązane z hasłem: cuboctahedron.
A z jakimi to grupami związane są inne bryły regularne? Przeanalizowaliśmy w poprzednich notkach wszystkie pięć grup ośmio-elementowych. Do czego każda z nich prowadzi? Chciałoby się to wiedzieć, bo przecież obrazki przemawiają do nas bardziej niż czysta abstrakcja.....
Komentarze