Dobrze jest mie do czynienia z alternatywami. Źle gdy nie mamy wyboru. Wybieranie interpretujemy jako manifestację naszej wolnej woli. Czy wolną wolę wolę mamy? Tu można dyskutować. Być może złudzenie, że takową mamy jest w nas zaprogramowanę? Mniejsza o to. Ważne jest w życiu, by wolną wolę po prostu stosować, na przykład choćby i przez wybór najbardziej nam odpowiadającej, najbardziej skutecznej, efektywnej doktryny filozoficznej.
Kamil Dróżdż (Recenzent)
Alternative 4 ─ The Brink
Duncan Patterson to człowiek, który dźwiga na swoich plecach wór muzycznych doświadczeń. Do 1998 roku działał w Anathemie i często to właśnie jemu przypisuje się wzbudzenie zainteresowania wczesną twórczością tej grupy. Razem z Ekskomuniką nagrał m.in. jedną z najbardziej cenionych płyt tej formacji – Alternative 4, gdzie dał upust swojemu zainteresowaniu silnie dołującym dźwiękom. Kolejnym przystankiem w karierze Duncana był Antimatter. Współpraca z Mickiem Mossem zaowocowała wieloma utworami włączanymi dziś do klasyki depresyjnych brzmień. Wspólne eksperymenty z muzyką to jednak wciąż nie było to i po wydaniu Planetary Confinement w roku 2005 Duncan Patterson zdecydował się skupić na działającym do dziś projekcie Íon.
W tak zwanym międzyczasie przejawy twórczej natury Irlandczyka można było dostrzec w działalności formacji Aftermath, czy w dźwiękach towarzyszących filmom The Sons of Eilaboun oraz Just Another Day.
W 2011 roku na rynku muzycznym pojawiła się płyta najnowszego projektu Duncana. Alternative 4 za sprawą krążka The Brink miało stać się nową siła na scenie europejskiego rocka.
Płyta została opatrzona ciekawą oprawą graficzną. Na czarnym tle widzimy delikatnie zmrużone oko wpisane w czerwony trójkąt i nazwę krążka. Taki obraz podpowiada, że na płycie pojawi się wiele tajemnic do odkrycia, a muzyka sama w sobie będzie balansować na pograniczu wcześniejszych, nastrojowo-depresyjnych projektów Duncana.
Skoro jest tak wiele tajemnic do odkrycia, odkrywajmy zatem – krok po kroku. I to bez depresyjnych nastrojów, depresyjne nastroje nastroje w odkrywaniu tajemnic tylko przeszkadzają. Potrzebna nam jest nadzieja a nie depresyjne nastroje, choć i te dobrze jest poznać – choćby po to, by nauczyć się dawać sobie z nimi radę, a i innym pomagać.
Mamy więc trójkąt, mamy alternatywę 4, zaś 3x4 = 12. Dwunastu było ponoć apostołów, i o tym była ostatnia notka Geometria Ostatniej Wieczerzy. Były teżcztery trójkąty:
Diagram ten to „diagram Cayleya” dwunasto-elementowej grupy zakodowanej w prezentacji
a3= b2= (ab)3= e
Na diagramie oprócz słów tworzących grupę, takich jak a,b,bab,aba …, mamy też tajemnicze cyfry w nawiasach – czego dotychczas nie dyskutowaliśmy. Czas więc na odkodowanie tych znaków
I tak pod literką a widzimy (123), pod literką b widzimy (12)(34). O permutacjach już kiedyś rozmawialiśmy. A tajemnicze cyfry w nawiasach to nic innego niż symbole permutacji. W nawiasach widzimy cyfry od 1 do 4, mamy więc zapewne do czynienia z grupą permutacji zabioru cztero-elementowego, zbioru liczb {1,2,3,4}. Przypomnę, że (123) oznacza permutację w której 1 przechodzi w 2, 2 przechodzi w 3, 3 przechodzi w 1, 4 przechodzi w 4 – nie jest ruszane. Innymi słowy permutację (123) możemy zapisać jako
1234
2314
Permutacja (12)(34) to złożenie dwóch przestawień. Najpierw zamieniamy miejscami 3 i 4, potem zamieniamy miejscami 1 i 2. Innymi słowy permutację (12)(34) możemy zapisać jako
1234
2143
Permutacja (123) zapisana jest pod literką a. Wiemy, że a3 = e. Ale także (123) do potęgi trzeciej to permutacja tożsamościowa. Działa to tak
1234 → 2314 → 3124 → 1234
Podobnie wiemy, że b2 = e. Ale także (12)(34) podniesione do kwadratu daje permutację tożsamościową. Działa to tak
1234 → 2143 → 1234
Wiemy, że (ab)3 = e. Gdy założymy, że a = (123), b = (12)(34) czy wyjdzie nam, jak powinno, że (ab)3 jest permutacją tożsamościową? Trzeba to sprawdzić. Co to za permutacja, to nasze (ab)? Policzmy, idąc od lewej do prawej.
1 → 2 → 1
2 → 3 → 4
3 → 1→ 2
4 → 4 → 3
Zatem ab to
1234
1423
Jedynka się nie rusza, zatem ab to cykl (243). I tak mamy na obrazku. A cykl (243), jak każdy cykl z trzech elementów, podniesiony do trzeciej jest identycznością.
Możemy w ten sposób utożsamić każde element naszej grupy z pewną permutacją zbioru cztero-elementowego. Wypadałoby by sprawdzić, czy na obrazku wszystkie podpisy się zgadzają. Załóżmy, że nie ma tam błędów. A jak są, to może ktoś jakiś błąd znajdzie?
Ale, ale: permutacji zbioru cztero-elementowego jest 4! = 4x3x2x1=24. A nasza grupa ma tylko dwanaście elementów! Zatem nasza grupa jest podgrupą grupy symetrycznej S4, jak oznaczamy grupę permutacji zbioru {1,2,3,4}. Co to za podgrupa?
Zauważmy, że a jest cyklem: a = (123). A w grupie permutacji jest tak, że każdy cykl daje się rozłożyć na iloczyn (złożenie) przestawień. Ogólna formuła jest taka:
(i1,i2,....,im) = (i1i2)(i1i3) … (i1in)
W naszym przypadku (123) = (12)(13).
Zatem a to dwa przestawienia. B to także dwa przestawienia. Dwa to liczba parzysta. Stąd każdy element naszej grupy dwunasto-elementowej to parzysta liczba przestawień. A każda permutacja jest albo parzysta albo nieparzysta. Połowa wszystkich permutacji to permutacje parzyste, druga połowa to nieparzyste. Połowa z 24 to 12. Bilans się zgadza.
Nasza dwunasto-elementowa grupa to nic innego jak grupa wszystkich parzystych zbioru cztero-elementowego. Nazywa się to:grupa alternująca. Z Wikipedii:
Grupa alternująca – w teorii grup grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego .
Nasza dwunasto-elementowa grupa to grupa oznaczana zwykle symbolem A4.
Rozwikłaliśmy zatem jedną tajemnicę. Ale czekają nas tajemnice kolejne. ZA generatory naszej grupy miast a i b, możemy wziąć A i B zdefiniowana przez:
A = a
B = ab
Zadanko: wyrazić a,b przez A,B
Jak wtedy będzie wyglądał diagram Cayleya? Będzie bardziej estetyczny od tego z obrazka powyżej? Czy też wyjdzie jakiś parszywy?
I tak to już jest: gdy uwikłamy się z jedną tajemnicą, zawsze czekają do rozwikłania kolejne.
