Feralna dwunastka

Czemu niby dwunastka ma być feralna? Wystarczy zajrzeć do Wikipedii: Fenomen roku 2012. Stoi tam czarno na białym: „Z powodu nadciągającej w 2012 roku apokalipsy, teraz jest dobra pora na kinową Ostatnią Wieczerzę".

Więc i ja taką wieczerzę chcę zaproponować. Wieczerzę z dwunastoma bohaterami. Ale powoli. W poprzedniej serii notki rozgryźliśmy kilka kodów: budowaliśmy grupy ze słów złożonych z liter a i b. Podany był dla tych liter kod – tzw. prezentacja. Jakoś mi nie idzie przechodzenie od grup i kodów do fraktali. Tzn. Idzie jak po grudzie. I dobrze. Pisał wszak wieszcz: „— Prawdę mówi! — zawołał Zagłoba. — Przecież to oszmiański szlachcic, co w jednym bucie, a w jednym łapciu chodzi. W takowym stroju, zwłaszcza w zimie na grudzie, musiał się często nie tylko potykać, ale i zgoła przewracać. „

Zatem na koń! Wiwat Rzeczpospolita!

Proponuję dziś, dla rozrywki, przed-apokaliptycznej rozrywki, zająć się jeszcze jednym kodem. A kod mój taki:

a³= e, b² = e, (ab)³= e

Co to za grupa? Hmm.... Będziemy ją budować ze słów ułożonych z liter a,b, zaś gdy się da – słowa te redukować. To tak jakby rozwiązywanie łamigłówki. Przy tym nie ma gwarancji z góry, że łamigłówka ma skończone rozwiązanie. Czasem ma, czasem nie ma. A jak jest w tym przypadku? Rzecz w tym, że nie ma tu algorytmu. Trzeba kombinować. Trzeba uczyć się na przykładach, nabierać doświadczenia. Ot, takie niezłe ćwiczenie na logiczne myślenie. Ale nie sama dedukcja tu działa, bowiem potrzebna jest także intuicja: co warto dedukować a czego nie warto?

Mi to dedukowanie zajęło z godzinę. Kto chce dedukować, poćwiczyć, może w każdej chwili przestać czytać jak ja to zrobiłem, robić samemu. Porównamy wtedy nasze metody i wyniki.

Najpierw wyciągnijmy wnioski z tej trzeciej relacji: (ab)³= e. Czyli ababab = e. Mnożąc z prawej przez b dostaniemy ababa = b. Gdzie wykorzystaliśmy b²= e. Mnożąc z lewej przez a² dostaniemy

baba = aab. Gdzie wykorzystaliśmy a³= e, Formuła

I) baba = aab

jest użyteczna. Pozwala bowiem redukować słowo czteroliterowe do trzyliterowego.

Więc teraz zadanko: wydedukować podobnie, że

abab = baa
baba = aab
baab = aba

Technikę dedukcji poznaliśmy już w poprzednich notkach. Wyliczamy słowa jednoliterowe. Będą trzy:

e,a,b

Słowa dwuliterowe? Normalne byłyby cztery, ale bb odpuszczamy, bo bb redukuje się do jednoliterowego: e. Mamy więc

No to mamy już sześć elementów. Zajmijmy się słowami trzyliterowymi. Normalnie byłoby ich osiem – a i b we wszystkich kombinacjach z trzech symboli. Ale aaa odpada, bba i abb odpadają, także bbb odpada, bo redukuje się do b. Zatem pozostają cztery:

aab

aba

bab

baa

Mamy już dziesięć elementów. A słowa czteroliterowe? Każde słowo czteroliterowe otrzymujemy z istniejącego już słowa trzyliterowego przez dodanie, z prawej lub z lewej, literki a lub literki b. Mamy więc 4x4 = 16 możliwości. Bo mamy cztery nieredukowalne słowa trzyliterowe i każde możemy rozszerzać do czteroliterowego na cztery sposoby. A ile z nich przeżyje? Popatrzmy:

pomnóżmy aab z lewej przez a. Dostaniemy aaab, czyli b. To nie przeżywa. Podobnie nie przeżyje mnożenie aab z prawej przez b. Co więc przeżyje? To dobre ćwiczenie. Jak ktoś utknie – wtedy niechaj pyta. Podpowiem. Jak, który dobry do łamigłówek nie jestem, w pół godziny doszedłem do wniosku, że przeżyją tylko dwa słowa czteroliterowe:

aaba

abaa

Razem dwanaście.

A dalej już nic nie przeżyje! Wszystko inne się wyredukuje gdy skorzystamy z naszych tożsamości. Teraz można już wydedukować tabliczkę mnożenia. Ciekawe czy ktoś to będzie w stanie zrobić?

A tabliczka mnożenia przyda nam się do przyszłej notki, gdzie pojawi się pewien bardzo pracowity prawnik i matematyk