No tak, każdy chciałby to wiedzieć. Czy, a jeśli tak, to jak? I dlaczego? Ja tam Einsteina lubię. Nie to, żebym go uwielbiał, ale jednak. Bardziej od Einsteina lubię gwiazdy i Księżyc. Jednak Einstein jest na mojej liście niedaleko za nimi. Więc sam chcę wiedzieć ni chcę wiedzieć co inni na temat Einsteina myślą. Laura, moja małżonka, o tym dobrze wie. Wie też, że bywam roztargniony, podobnie jak był takim Einstein. Laura pracuje nad swoją książką, ja nad swoją. Ale ja, poza pracą, mało o czym pamiętam. Laura natomiast ma uwagę i pamięć podzielną. Wczoraj była rocznica naszego małżeństwa. Dowiedziałem się o tym wczoraj w południe:
„Honey, do you know that we have an anniversary today?”
Oczywiście, zapomniałem.
A dziś rano usłyszałem wołanie z kuchni:
„Honey, come down, there is something for you.”
No i było. Na rocznicę dostałem w prezencie od Laury książkę (przyniosła ją poranna poczta): „How Einstein Ruined Physics. Motion, Symmetry and Revolution in Science.”
Autor, Roger Schlafly, ma stopień BSE inżyniera elektryka z Uniwersytetu Princeton, a także doktorat z matematyki z „University of California at Berkeley”. Głupi więc zapewne nie jest. Poczytam, zobaczę.
W tytule jest „Symetria”, a ja o symetriach właśnie piszę cały, długi cykl notek. Piszę też książkę o fraktalach (takich „kwantowych”), a tam Einstein i jego teoria względności też się pojawią (bo moje fraktale mogą być też generowane przez specjalne transformacje szczególnej teorii względności).
Wróćmy więc do symetrii. Pozostańmy na gruncie bezpiecznym. W poprzedniej notce wystąpiła „grupa dwuścianu” a Bjab zapytał skąd się wzięła nazwa? No właśnie. Poszperałem i oto co znalazłem.
Wzięła się od Felixa Kleina. Ten wprowadził na dobre teorię grup do podstaw geometrii. Czy zrujnował przez to geometrię, podobnie jak Einstein zrujnował fizykę? Nie wykluczam tego. Ale teorię grup lubię.
Klein wprowadził pojęcie „grupa dwuścianu” w wydanej w roku 1884 książceVorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”). Wzmiankę o tej książce można znaleźć i w naszej Wikipedii, choć przy innej okazji, po hasłem „Grupa czwórkowa Kleina”. Grupę czwórkową,Z/2Z x Z/2Z zresztą już poznaliśmy. Książkę Kleina, w niemieckim oryginale, można zresztą sobie ściągnąć z archiwum sieciowego: tutaj (16.6 MB, pdf).
Wydanie oryginalne, z roku 1884, Leipzig, Druck ind Verlag von R. G. Teubner. Tak to wygląda w oryginale:
Wprowadza tam Klein niemieckie słowo „Dieder”. Dziś, po angielsku, mówimy „dihedron”, po polsku „dwuścian”. I o co tu idzie? Otóż Kleina interesują bryły foremne. Ale co to jest „bryła foremna”? Intuicyjnie czujemy pojęcie foremności, ale jak to opisać matematycznie? I tu Klein zaproponował, że bardziej od samej bryły ważna jest grupa symetrii tej bryły. Zajmując się więc grupami symetrii stwierdził, że do brył foremnych należy też zaliczyć „bryły przydeptane”, to jest takie, co mają długość i szerokość, ale ich wysokość, po przydeptaniu, wynosi p0raktycznie zero. Niemniej mają dwie strony: górną i dolną. Jak tu, na obrazku:
Ten sześciokąt z obrazka ma za symetrie obroty o 60 stopni, ale można go także, w przestrzeni, obrócić o 180 stopni, tak by góra stała się dołem a dół górą. W rezultacie, w wyniku obrotu w trzech wymiarach otrzymujemy lustrzane odbicie w dwóch wymiarach. Stąd i nazwa „dwuścian”: jedna ściana to podstawa, druga to wieczko.
Sama idea, że (skokowe) odbicie lustrzane w jednej przestrzeni może być opisane jako wynik nieskokowego (ciągłego) obrotu w przestrzeni więcej-wymiarowej, jest dość ciekawa. W fizyce mówi się czasem o „obiciu czasu” - zamiany przyszłości z przeszłością. Ciężko to sobie wyobrazić. Ale, jeśli dodamy jeden wymiar, wtedy taka wymiany przyszłości z przeszłością może być wynikiem ciągłego obrotu w dodatkowym wymiarze. Może czas, tak naprawdę, nie jest jedno-wymiarowy a dwuwymiarowy? Dla istot postrzegających ten dodatkowy wymiar dychotomia „przeszłość-przyszłość” nie ma sensu. Jest „nienaturalna.” Punkty na prostej można w naturalny sposób uporządkować. Dla płaszczyzny natomiast nie ma naturalnego sposobu porządkowania.
Polecana literatura: Kristopher Tapp, „Symmetry. A Mathematical Exploration”, Springer, 2012 (mój, istotnie okaleczony, obrazek dwuścianu skopiowałem z tej właśnie monografii, str. 100):
