Bawimy się w detektywa
Gdy byłem chłopcem, wraz z kolegą założyliśmy „Agencję detektywistyczną”. Śledziliśmy dziewczęta, rozszyfrowywaliśmy teksty na porwanych kawałkach papieru. Lubiłem też książki o Indianach, tropicielach śladów, uwielbiałem Sherlocka Holmesa. Do dziś mi to zostało.
Detektywem można być na różne sposoby. Duże pole dla popisu dla detektywów daje fizyka i matematyka. Fizyk rozszyfrowuje „prawa przyrody”, matematyk zajmuje się raczej kodami bardziej abstrakcyjnymi. Takimi jak ten z końca poprzedniej notki:
a4 = b2 = e,
aba = b.
Co można powiedzieć o grupie, o której wiadomo tylko to co wyżej? Jak ją zbudować na podstawie tych i tylko tych informacji, nie dokładając nic dodatkowego? Dziś się tym zajmiemy. To jeden tylko przykład, ale jeśli zrozumiemy i dobrze opanujemy jeden przykład, wtedy będziemy mieć doświadczenie pozwalające nam na zajęcie się innymi, podobnymi przypadkami. Najlepiej uczyć się bowiem na przykładach.
Skoro naszą grupę mamy zbudować tylko na podstawie posiadanych informacji, zatem każdy element naszej grupy winien być zbudowany ze słów w których występują litery alfabetu a, b. Ściślej, ponieważ ma to być grupa, zatem powinny też występować a-1 i b-1. Ale z a4 = e widzimy, że a3 = a-1, zatem a-1 możemy zastąpić przez a3. Zaś z b2 = e widzimy, że b = b-1, zatem b-1 możemy zastąpić przez b. Ile istotnie różnych słów można zapisać?
Zacznijmy od słów jednoliterowych. Będą trzy takie słowa:
e
a
b
Ile dwuliterowych?
aa
bb
ab
ba
Ale, ale! bb nie jest nowym słowem, bo bb = e. Musimy się jakoś umówić jak redukować nasze słowa tak, byśmy mogli je ze sobą porównywać. Nasz kod nam to zadanie ułatwia. Jedną umowę już przyjęliśmy: że mianowicie pozbędziemy się a-1 i b-1. Pozwalają nam na to związki
a4 = e, b2 = e.
Mamy wszak także trzecią relację: aba = b.
Zatem, mnożąc z lewej przez a-1, mamy ba = a-1b = aaab.
Możemy zawsze tak poprzestawiać litery w naszych słowach, by potęgi a występowały przed potęgami b. Zatem każde słowo da się sprowadzić do postaci
g = arbs.
I to jest dobre. Ile będzie takich różnych słów? Potęgi a są modulo 4 (bo a4 = e), potęgi b są modulo 2 (bo b2 = e). Będzie więc 4x2 = 8 różnych, już nieredukowalnych, słów.
Słowa jednoliterowe:
e,a,b
Słowa dwuliterowe
aa, ab
Słowa trzyliterowe
aaa, aab
Słowa czteroliterowe
aaab
Razem 3+2+2+1 = 8.
Każde dłuższe słowo da się zredukować do jednego z tych ośmiu. Nie wieżycie? Logika nie przemawia? To spróbujcie znaleźć inne słowo, które nie dałoby się zredukować do jednego z tych ośmiu!
Możemy teraz zrobić tabliczkę mnożenia. Ale tego już robił nie będę. To zadanie domowe.
Co to zwierz, ta nasza świeżo rozszyfrowana grupa? Najlepiej myśleć o niej jako o grupie symetrii kwadratu – jak na obrazku poniżej:
Weźmy pierwszy zaczerniony trójkąt i działajmy na niego elementami naszej grupy. Element a to obrót o 90 stopni zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Element b to odbicie względem poziomej osi symetrii. W ten sposób każdy z ośmiu trójkątów reprezentuje jeden element naszej grupy.
Jednego trójkąta nie podpisałem. Czytelnik zechce go sam podpisać.
Zauważmy, że odbicie względem osi symetrii pionowej to nic innego jak aab – obrót o 180 stopni i odbicie względem osi poziomej! Magia? Gdzież tam. Zwykła geometria.
Nasza grupa ma swoją nazwę: to grupa dwuścianu (ang. dihedral group). Jedni oznaczają ją przez symbol D8, inni przez symbol D4.
Grupy – grupami, symetrie – symetriami, ale oprócz matematyki mamy wokół siebie również politykę. Też ważna. Otóż dostałem wczoraj mejla od pewnej Bardzo Miłej Osoby, osoby, która nawet kiedyś występowała z komentarzami na moim blogu. Osoba ta aktualnie ma wpływ na politykę. Zwróciła się do mnie (czemu do mnie, skoro ja o polityce nic od dłuższego czasu nie piszę, w innych regionach się obracam) z konkretnymi (ale ogólnymi) pytaniami dotyczącymi planów zmian w polskiej kulturze. Oto co dopowiedziałem:
Cześć. Na kulturze i jej problemach to jak się zupełnie nie znam. Jednak pytasz o francuskie doświadczenia i tu mogę powiedzieć co we francuskiej kulturze jest fatalne. Więc idzie o to, by Polska unikała jak ognia takiej fatalności. Najgorsze we francuskiej kulturze to "duma z francuskiej kultury". Towarzyszy temu zaniedbanie nauki angielskiego. W rezultacie przeciętny Francuz jest odcięty od 90% kultury światowej dostępnej. Gdy Amerykanin nie wie odróżnia Turcji od indyka (brzmi podobnie) - to jakoś mu ujdzie. Ale gdy Francuz zna tylko to, co mu zaserwuje Encyklopedia Universalis, wtedy jest na spalonej pozycji. Sądzę, że Polska winna dążyć do tego by każdy Polak władał biegle angielskim, a do tego znał jeszcze inny obcy język: rosyjski lub niemiecki. By mógł być Polakiem a jednocześnie jednak "obywatelem świata". Spełni to dwa zadania: po pierwsze ułatwi szerzenie polskiej kultury w świecie, po drugie pozwoli na posiadanie pełnej wiedzy o tym co się dzieje w kulturze światowej.
A pieniądze? Przeznaczyłbym naprawdę wielkie pieniądze na biblioteki. W dzisiejszym czasie idzie o biblioteki książek papierowych jak i tych ebooków. Wyposażenie bibliotek uznałbym za sprawę absolutnie priorytetową. Zielone światło dla bibliotek. Ulgi dla mecenasowych sponsorujacych zaopatrzenie bibliotek. W bibliotekach zaś oprócz pozycji polskich także pozycje angielskojęzyczne.
To tyle, co mi się rzuca w oczy. Inni ludzie podpowiedzą Ci zapewne inne rzeczy - z ich podwórek.
No, ale to tak, na boku. O kulturze można bowiem w nieskończoność, a my zajmujemy się aktualnie grupami skończonymi. Pozostała nam jeszcze jedna, piąta, grupa ośmioelementowa. Bodaj najciekawsza. I tym się zajmiemy w następnej notce.
