Prawa Przyrody wydają się być jakoś zakodowane. Może nam się to tak jakoś wydaje, a może tak jest w samej rzeczy? Nikt chyba tego nie wie. To zagadka. Fizycy, posługując się matematyką, formułują te prawa w „równaniach”. Jak na razie. Mamy więc równania mechaniki Newtona, równania elektrodynamiki Maxwella, równania grawitacji Einsteina, równanie ciepła, równania termodynamiki, itd. Dziś, w erze informatyki i komputerów, równania te, zazwyczaj opisujące rzeczywistość ciągłą, są poddawane procesowi dyskretyzacji. Dla celów obliczeniowych ciągłą przestrzeń i ciągły czas zastępujemy dyskretną siecią. Równania różniczkowe zastępujemy algorytmami obliczeniowymi. Być może jednak, na jakimś podstawowym poziomie wszystko jest dyskretne? Może nawet skończone? Gdyby tak było w samej rzeczy, wtedy szukalibyśmy raczej kodu Przyrody. Kto, po co i dlaczego coś tam kodował? To już jest inna kwestia, lepiej, na razie, zostawić ją na boku.
W poprzedniej notce rozważyliśmy tabliczki mnożenia dwóch z pięciu grup ośmioelementowych. Dizś zajmiemy się kolejną grupą ośmioelementową, trzecią z kolei, ale proponuję podejście od innej strony: od strony kodu grupy.
Co wiemy o grupach (a zajmujemy się na razie grupami o skończonej licznie elementów)? Każda grupa winna mieć element jednostkowy e, każdy element a grupy winien mieć element odwrotny
a-1, działanie w grupie winno być łączne: (ab)c=a(bc).
Postawmy więc sobie takie pytanie:
Co można powiedzieć o grupie G, o której wiadomo tylko tyle:
G ma trzy elementy a,b,c o następujących własnościach:
I)
a2 = e
b2 = e
c2 = e
II)
ab = ba
ac = ca
bc = cb
III)
Cała grupa jest generowana przez wszelkie możliwe iloczyny elementów a,b,c,-1,b-1,c-1.
Innymi słowy najogólniejszy element grupy to słowo utworzone z tycz sześciu liter alfabetu, Na przykład takie:
g = abcab-1accabbaba-1acab-1bbbb-1a-1a
Korzystając z naszego kodu I),II) zauważamy, że możemy się pozbyć odwrotności w słowach. Skoro bowiem a2 = e, to a-1= a.
Zatem
g = abcabaccabbabaacabbbbbaa
Podobnie dla b i c. Dalej, z II) wynika, że możemy poprzestawiać litery w słowach, tak by wszystkie a pogrupować razem, wszystkie b razem, wszystkie c razem:
g = aaaaaaaaaaabbbbbbbbbcccc
Dalej, skoro a2 = e , a czasem wygodnie jest używać też notacji w której e oznaczane jest po prostu symbolem 1, to możemy się pozbyć wszystkich kwadratów, zatem i parzystych potęg, elementów a,b,c. Zostaje więc
g = ab
Zredukowaliśmy nasze słowo i dalej redukować już się nie da (na podstawie kodu, którym dysponujemy). Ile więc będzie takich zredukowanych słów w grupie: Wyliczmy je:
e
a
b
c
ab
ac
bc
abc
Osiem zredukowanych słów. To cała nasza grupa. Z naszego kodu możemy wywnioskować tabliczkę mnożenia
|
|
e
|
a
|
b
|
c
|
ab
|
ac
|
bc
|
abc
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
ab
|
ac
|
bc
|
abc
|
|
a
|
a
|
e
|
ab
|
ac
|
b
|
c
|
abc
|
bc
|
|
b
|
b
|
ab
|
e
|
bc
|
a
|
abc
|
c
|
ac
|
|
c
|
c
|
ac
|
bc
|
e
|
abc
|
a
|
b
|
ab
|
|
ab
|
ab
|
b
|
a
|
abc
|
e
|
bc
|
ac
|
c
|
|
ac
|
ac
|
c
|
abc
|
a
|
bc
|
e
|
ab
|
b
|
|
bc
|
bc
|
abc
|
c
|
b
|
ac
|
ab
|
e
|
a
|
|
abc
|
abc
|
bc
|
ac
|
ab
|
c
|
b
|
a
|
e
|
I tak mamy grupę zdefiniowaną poprzez jej kod. Jest to grupa C2xC2xC2. Jest to iloczyn prosty trzech grup C2. Mamy trzy niezazębiające się trybiki. Jeden nie przeszkadza drugiemu.
Grupę tę już zresztą widzieliśmy, w zapisie addytywnym. To bowiem nic innego jak trójwymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem zero-jedynkowym. Wektorami tej przestrzeni są trójki liczb (x,y,z), gdzie x,y,z to 0 lub 1, z reguła dodawania 1+1 = 0. Elementy a,b,c są wtedy reprezentowane przez trzy wersory jednostkowe:
a = (1,0,0)
b = (0,1,0)
c = (0,0,1)
Zaś
e = (0,0,0)
Dodawanie wektorów jest wtedy mnożeniem grupowym, zatem ab to będzie (1,1,0) itd.
No dobrze, to było łatwe. Trudniejszy jest inny problem: co można powiedzieć o grupie z następującym kodem:
a4 = e
b2 = e
aba = b
Ile ta ma nieredukowalnych słów? Jak wygląda jej tabliczka mnożenia? Co ona robi? Do czego się nadaje?
Tym zajmiemy się w następnej notce.
