W kółko panie Macieju

W poprzedniej notce przerobiliśmy tabliczki mnożenia do siedmiu (włącznie). Dziś przerobimy tabliczki mnożenia do ośmiu. Czemu tabliczki a nie tabliczkę? A temu, że jest pięć grup rzędu 8 (o ośmiu elementach). Trzy z nich są przemienne, dwie są nieprzemienne. Zaczniemy od tych łatwo konstruowalnych, przemiennych.

Przede wszystkim mamy grupę cykliczną C₈. To grupa symetrii obrotowej ośmiokąta foremnego.

Jest generowana przez obrót o 360/8 = 45 stopni. Oznaczając go przez x, będziemy w tej grupie mieć obroty x² (o 90 stopni), x3 (o 135 stopni), …. Tabliczka mnożenia będzie więc taka:

C₈	e	x	x²	x³	x⁴	x⁶	x⁶	x⁷
e	e	x	x²	x³	x⁴	x⁵	x⁶	x⁷
x	x	x²	x³	x⁴	x⁵	x⁶	x⁷	e
x²	x²	x³	x⁴	x⁵	x⁶	x⁷	e	x
x³	x³	x⁴	x⁵	x⁶	x⁷	e	x	x²
x⁴	x⁴	x⁵	x⁶	x⁷	e	x	x²	x³
x⁵	x⁵	x⁶	x⁷	e	x	x²	x³	x⁴
x⁶	x⁶	x⁷	e	x	x²	x³	x⁴	x⁵
x⁷	x⁷	e	x	x²	x³	x⁴	x⁵	x⁶

Druga grupa ośmioelementowa to”iloczyn prosty” grup Z/2Z i Z/4Z. Przypomnę, że Z/2Z ma dwa elementy: jedność i odbicie. W zapisie addytywnym jest to zatem zbiór (0,1) z dodawaniem 1+1=0.

W zapisie multiplikatywnym jest to zbiór (1,-1), ze zwykłymi regułami mnożenia.

Z/4Z to grupa symetrii obrotowych kwadratu. Jest generowana przez obrót o 90 stopni. W zapisie addytywnym jest to zbiór {0,1,2,3}, przy czym 3+1=0. Istnieje yeż przedstawienie multiplikatywne, ale do tego trzeba znać reguły mnożenia liczb zespolonych. Generatorem jest wtedy liczba urojona i. Mamy bowiem i⁰= 1, i¹= i, i²= -1, i³= -i, i⁴= 1 i dalej w kółko. Nic to zresztą dziwnego, bo mnożenie liczby zespolonej przez i jest tym samym co jej obrót o 90 stopni.

Iloczyn prosty oznacza, że działania tych dwóch kół zębatych się nie zazębiają. Każde działa sobie i drugiemu nie zawadza. Jakby każda działała na inny obiekt. Jeśli generator Z/Z2 oznaczymy przez a, zaś generator Z/Z4 przez x, to będziemy mieć taką oto tabliczkę mnożenia

_Z/Z2xZ/Z4	e	a	x	x²	x³	ax	ax²	ax³
e	e	a	x	x²	x³	ax	ax²	ax³
a	a	e	ax	ax²	ax³	x	x²	x³
x	x	ax	x²	x³	e	ax²	ax³	a
x²	x²	ax²	x³	e	x	ax³	a	ax
x³	x³	ax³	e	x	x²	a	ax	ax²
ax	ax	x	ax²	ax³	a	x²	ax³	e
ax²	ax²	x²	ax³	a	ax	x³	e	x
ax³	ax³	x³	a	ax	ax²	e	x	x²

Tabliczkę pisałem na chybcika, od ręki, więc mogą być w niej błędy.

Mamy zatem dwie z pięciu grup ośmioelementowych. Obie tabliczki są symetryczne względem głównej przekątnej. Oznacza to, że grupy te są przemienne.

Została nam jeszcze jedna ośmioelementowa grupa przemienna i dwie ośmioelementowe grupy nieprzemienne. To już w następnej notce, w której zajmiemy się nieco dokładniej słówkiem „generatory”, słówkiem, którego dziś używałem tak niby mimochodem.

A co u mnie? Dziś cały dzień walczyłem z Linuxem (Ubuntu,Mint,Fedora). Nadal walczę. Nowa płyta główna mojego komputera jest zbyt nowa. Dystrybucje Linuxów są spóźnione – brak sterowników. Niby mógłbym sterownik skompilować, ale do tego trzeba mieć odpowiednie biblioteki. Żeby mieć biblioteki trzeba mieć dostęp do sieci, żeby mieć dostęp do sieci – trzeba mieć odpowiedni sterownik. No i kółko się zamyka – mamy niezły przykład grupy cyklicznej.