Poszukamy dziś wszystkich grup o liczbie elementów od 1 do 7 włącznie.
Rząd 1. Grupa winna zawierać element jednostkowy e. Grupa rzędu 1 może zawierać tylko ten element. Rząd 1 mamy zatem z głowy: G = {e} z tabelką mnożenia ee = e.
Rząd 2. Tutaj mamy dwa elementy, jeden to e, drugi oznaczmy przez a. Zatem G = {e,a}. Musimy teraz wypełnić tabelkę mnożenia:
Z definicji elementu jednostkowego w grupie mamy ea = ae = a. Nasza tabelka mnożenia ma więc postać
W pusty prawy róg możemy wstawić e lub a. Jeśli wstawimy a, będziemy mieć, że aa = a. Mnożąc (z lewej czy z prawej, obojętne) przez odwrotność a otrzymamy wtedy a = e. A przecież nasza grupa ma mieć dwa elementy, zatem a musi być różne od e. Zostaje tylko jedna możliwość: aa = e. Wypełniamy więc naszą tabelkę mnożenia:
Trzeba by jeszcze sprawdzić łączność działania w grupie. Nawet nie takie to żmudne. Nasza grupa jest „izomorficzna” z grupą (0,1), gdzie dodawanie jest mnożeniem grupowym, 0 jest jednością grupy, zaś 1 spełnia rolę a. Wtedy aa=e jest tym samym co 1+1=0. Tę grupę już znamy! Zwykle oznaczamy ją przez Z2 lub przez Z/2Z
Rząd 3.
Teraz mamy trzy elementy: G={e,a,b}. Tabelka mnożenia wygląda tak:
Mamy do wypełnienia cztery puste miejsca. Czym może być a2? Mamy trzy możliwości:
a2 = a
a2 = e
a2 = b
Pierwsza możliwość odpada, bo wtedy mielibyśmy a = e, a przecież a ma być różne od e. Zatem zostają do przebadania możliwości druga i trzecia. ….. Ale, ale! Czemu sobie sprawy nie uprościć? W poprzedniej notce dowiedzieliśmy o pewnym prosto brzmiącym a ważnym twierdzeniu: jeśli rząd grupy jest wielokrotnością liczby pierwszej p, to grupa ma element rzędu p. Czemu z tego faktu nie skorzystać? Nasza grupa ma rząd 3, 3 jest wielokrotnością liczby pierwszej 3, zatem jeden z elementów grupy ma tę własność, że podniesiony do trzeciej potęgi daje jedność. Niech to będzie a. Wtedy a3 = e ale a2 jest różne od e. Zatem a2 musi być b! No to wypełniamy naszą tabelkę:
Musimy wypełnić pozostałe trzy puste miejsca. I tu (a także dalej) przyjdzie nam z pomocą pewna Bardzo Ważna Własność tabelek mnożenia w grupach:
|
Bardzo Ważna Własność:
Tabliczka mnożenia dla grupy zawiera w każdym wierszu i w każdej kolumnie każdy element grupy dokładnie jeden raz.
|
Skąd taka własność? Powiedzmy, że mamy wiersz opisujący mnożenie elementu a przez kolejne elementy b. Czy może być tak, że ab = ab'? Gdyby tak było, wtedy mielibyśmy, że b = b'. Zatem w każdym wierszu muszą być wyłącznie elementy jeden różny od drugiego. A że wiersz ma tę samą długość co ilość elementów w grupie, stąd i powyższa Bardzo ważna własność. I tak samo dla każdej kolumny. Takie samo rozumowanie.
Uzbrojeni w znajomość Bardzo Ważnej Własności możemy wrócić do wypełniania pustych miejsc w naszej tabelce. W drugim wierszu mamy już a i b, zatem na ostatnim miejscu musi stać e:
|
|
e
|
a
|
b
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
|
a
|
a
|
b
|
e
|
|
b
|
b
|
|
|
I teraz już łatwo tabelkę wypełnić do końca:
|
|
e
|
a
|
b
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
|
a
|
a
|
b
|
e
|
|
b
|
b
|
e
|
a
|
Zauważmy, że nasza grupa jest przemienna: ab = ba. Element a jest „generatorem” grupy. Mamy bowiem a2 = b, a3 =e. Nasza grupe jest więc izomorficzna z grupą addytywną (0,1,2), gdzie 2+1=0. Czyli po prostu liczby 0,1,2 z dodawaniem modulo 3 tym razem. Oznaczamy tę grupę symbolem Z/3Z lub C3 (grupa cykliczna rzędu 3).
Rząd 4.
Znów skorzystamy z własności z liczbami pierwszymi. 4 jest wielokrotnością liczby pierwszej 2, zatem w grupie istnieje element rzędu 2. Nasza grupa teraz to G ={e,a,b,c}. Niech a będzie tym elementem grupy dla którego a2 = e. Mamy więc tabelkę:
|
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
a
|
a
|
e
|
|
|
|
b
|
b
|
|
|
|
|
c
|
c
|
|
|
|
Zabierzmy się za b2. Mamy dwie możliwości:
-
b2 = e,
-
b2 jest różne od e.
Możliwość 1)
|
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
a
|
a
|
e
|
|
|
|
b
|
b
|
|
e
|
|
|
c
|
c
|
|
|
|
W trzecim wierszu i w drugiej kolumnie nie mamy innej możliwości niż wstawienie c. Podobnie jak w drugim wierszu w trzeciej kolumnie:
|
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
a
|
a
|
e
|
c
|
|
|
b
|
b
|
c
|
e
|
|
|
c
|
c
|
|
|
|
No i teraz, korzystając z Bardzo Ważnej Własności wypełniamy do końca (każdy to winien przećwiczyć sobie na kartce papieru):
|
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
a
|
a
|
e
|
c
|
b
|
|
b
|
b
|
c
|
e
|
a
|
|
c
|
c
|
b
|
a
|
e
|
Wypadało by jeszcze sprawdzić łączność mnożenia, ale jest to tutaj zbyteczne. Widzimy bowiem, że mamy dwa elementy a i c o kwadratach równych e, zaś b jest ich iloczynem. Tabelka jest symetryczna, grupa jest przemienna. Jest to po prostu „iloczyn prosty” dwóch grup Z2 , nazywa się to „grupą Kleina”. W fizyce jedno Z2 pojawia się jako odbicie przestrzenne P, drugie Z2 jako odbicie czasowe T, zaś ich iloczyn to odbicie (zmiana orientacji) zarówno przestrzeni jak i czasu. Grupa ta jest izomorficzną z addytywną „płaszczyzną binarną”, gdzie mamy wektory [x,y]. przy czym x i y mogą przyjmować jedynie wartości 0 i 1 ze znaną reguła 1+1=0.
Pozostało nam jednak rozważenie drugiej możliwości: b2 różne od e. Czy może być b2= c? Mielibyśmy wtedy taką tabelkę:
|
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
a
|
a
|
e
|
|
|
|
b
|
b
|
|
c
|
|
|
c
|
c
|
|
|
|
Wtedy w klatce zaznaczonej na czerwono nie może stać a, nie może stać b, nie może stać c, i nie może stać e! Mamy więc tę możliwość z głowy. Musi więc być b2 = a. Reszta tabelki wypełnia się wtedy automatycznie (sprawdźcie to!):
|
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
a
|
a
|
e
|
c
|
b
|
|
b
|
b
|
c
|
a
|
e
|
|
c
|
c
|
b
|
e
|
a
|
Przyjrzyjmy się elementowi c. Mamy c2= a, c3 = ac = b, c4 = e. Zatem c jest generatorem. Jest to grupa cykliczna C4, lub, jeśli ktoś woli, Z/4Z – liczby 0,1,2,3 z dodawaniem modulo 4: 3+1 = 0.
Mamy więc dwie grupy rzędu 4: obie przemienne, jednak to grupa Kleina Z2xZ2, druga to to Z/4Z.
Rząd 5.
Pięć jest liczbą pierwszą. Pozostawiam Czytelnikowi do wywnioskowania, że każda grupą, której rząd jest liczbą pierwszą p jest grupą cykliczną Cp, lub, w zapisie addytywnym, Z/pZ.
Rząd 6.
Załatwiony w poprzedniej notce. Dwie grupy.
Rząd 7.
Załatwiony w uwadze do rzędu 5.
I tym sposobem znamy wszystkie grupy do rzędu 7 włącznie. No i mamy też pewne doświadczenie w operowaniu tabelkami mnożenia. Tu i ówdzie wspominałem o konieczności sprawdzenia łączności. Przypomnę, że łączność to własność mnożenia:
(ab)c = a(bc)
Czy tabliczka mnożenia (kwadratowa) opisuje mnożenie łączne czy nie, tego z tabelki nie widać. A sprawdzanie może być uciążliwe. Dobrze to zlecić komputerowi. I są do tego odpowiednie algorytmy. Ale to już jest inna historia.
