Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
2614
BLOG

Diabelska liczba 6

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 22

 

6 jest liczbą diabelską, 7 – liczbą anielską. Każdy to wie. Anioła warto mieć za stróża, ale diabła trzeba poznać, choćby po to, by poznać jego pokrętne sztuczki. Wikingowie wyglądali nieco podobnie do diabłów:
 

Wikingowie

 
Ja sam, tak wykazały testy DNA, które niedawno przeprowadziłem, mam w swoich genach pochodzenie od Wikingów. Być może Wikingiem był Mieszko I.
 
Co ma piernik do wiatraka?
 
A ma.
 
Bo gdzie była kolebka Wikingów? W Skandynawii. W szczególności Norwegia znana jest jako kraina Wikingów i legend. Znana jest sztuka Ibsena Peer Gynt, o takim jednym leniwym, o słabej woli. Byłby się stoczył kompletnie na manowce, gdyby go miłość Solvejgi nie uratowała. Nie na każdego z nas czeka Solvejga, zatem nie bądźmy leniwi – do roboty. Zabieramy się za szóstkę.
 
Tylko od której strony? Od strony norweskiej. Norwegiem był Ibsen, Norwegiem był Grieg (Suita Peer Gynt i piękne koncerty fortepianowe), Norwegiem był Sophus Lie – wspominałem już kiedyś o nim. Norwegiem by łPeter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918), matematyk, podobnie jak Sophus Lie. Gdzieś koło roku 1872, gdy powstawał właśnie Peer Gynt, Sylow udowodnił kilka twierdzeń o grupach skończonych. Dziś poznają jego twierdzenia wszyscy matematycy (nawet informatycy) zapoznający się z podstawami teorii grup. Nie mam zamiaru twierdzeniami Sylowa tu straszyć, ale z przynajmniej jednym, na początek, warto się zapoznać. No, może nawet nie tyle z samym twierdzeniem, ilez wnioskiem z pierwszego twierdzenia Sylowa.
 
A wniosek ten (przyjmijmy na wiarę, że daje się udowodnić) jest taki:
 
Sylow 1: Jeśli grupa G ma n elementów, i jeśli n jest wielokrotnością liczby pierwszej p, n=kp, wtedy w grupie G istnieje element g rzędu p.
 
Przypomnę, że rząd elementu g grupy, to najmniejsza liczba całkowita m>0 taka, że g do potęgi m jest jednością e grupy: gm=e.
 
Wyposażeni w tę broń pochodzącą od Wikinga zajmijmy się diabelską liczbą 6. Ile jest istotnie różnych grup mających 6 elementów?
 
Jedną poznaliśmy w poprzedniej notce: to grupa permutacji (grupa symetryczna S3) zbioru trzy-elementowego, która to grupa jest, tak się akurat składa, identyczna (izomorficzna) z grupą symetrii (grupa dwuścianu D3) trójkąta równobocznego.
 
Czy są jeszcze jakieś inny grupy o sześciu elementach?
 
Przypuśćmy, że G jest taką grupą. 6 dzieli się przez 3 i dzieli się przez 2. Zarówno 2 jaki i 3 to liczby pierwsze. Sylow mówi nam zatem, że w G jest element rzędu 3, nazwijmy go a, i jest element rzędu 2, nazwijmy go b:
 
a3 = e,
b2 = e.
Możemy teraz skonstruować sześć iloczynów postaciarbs:
 
e =a3b0=a0b2
a = ab0
b= a0b
aa
ab
aab
 
Wszystkie one są różne. Dlaczego? Można przejść po kolei. Przypuśćmy na przykład, że aa=ab. Wtedy, mnożąc przeza-1 z lewej strony, otrzymamy a=b. Ale to jest niemożliwe –Dlaczego? I tak dalej.
 
Skoro G ma sześć elementów, to powyższe iloczyny wyczerpują cała grupę. W szczególności ba musi być jednym z tych iloczynów.
 
Nie może być, że ba=b (dlaczego?), nie może być, że ba=e (dlaczego?), nie może być, że ba=a (dlaczego?), i nie może być, że ba=a2 (dlaczego?). Zatem musimy mieć:
 
ba = ab
 
lub
 
ba = a2b
 
Jeśli ba = ab, wtedy mamy grupę przemienną. Oznaczającba=ab=x mamy wtedy
 
x2= baba = abba = a2
x3 = a2ab = a3b = b
x4 = bba = a
x5= aab
x6 = e
 
Jest to po prostu grupa cykliczna (oznaczana C6), czyli grupa obrotów o kolejne wielokrotności kąta 60 stopni.
 
Jeśli natomiastba = a2b, wtedy, mnożąc z prawej przezb-1 = b, otrzymujemybab=a2, i mnożąc teraz z prawej przeza, otrzymujemy
 
baba = e
 
A to już znamy z poprzedniej notki – to grupa S3 = D3.
 
I tak, z pomocą Wikinga Sylowa poznaliśmy diabelskie narzędzia:
 
Są tylko dwie grupy o sześciu elementów:
 
  1. przemienna grupa cykliczna C6
  2. Grupa D3= S3
 
Jak widać diabeł ma repertuar wielce ograniczony. No, chyba, że sięgnie po grupy wyższego rzędu? Jak wysokiego? Może po monstrum? Z Wikipedii:
 
Grupa monstrum– w teorii grup grupa, która zgodnie z klasyfikacją skończonych grup prostych jest największą z tzw.sporadycznych grup prostych(nie należących do żadnej ze zdefiniowanych nieskończonych rodzin grup).
 
Istnienie grupy monstrum zostało przewidziane przez Bernda Fischera i Roberta Griessa w 1973 roku. Po raz pierwszy została skonstruowana przez Griessa w 1982 jako grupa automorfizmów algebry Griessa:196883-wymiarowejprzemiennej i niełącznej algebry[1].
 
Rząd grupy monstrum:
 
 
 
A w następnych notkach będę podobnie budować, z liter i ze słów, może innych niż nasza baba, inne grupy – wciąż jednak pozostając w ramach geometrii Fano.
 
 

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie