6 jest liczbą diabelską, 7 – liczbą anielską. Każdy to wie. Anioła warto mieć za stróża, ale diabła trzeba poznać, choćby po to, by poznać jego pokrętne sztuczki. Wikingowie wyglądali nieco podobnie do diabłów:
Ja sam, tak wykazały testy DNA, które niedawno przeprowadziłem, mam w swoich genach pochodzenie od Wikingów. Być może Wikingiem był Mieszko I.
Co ma piernik do wiatraka?
A ma.
Bo gdzie była kolebka Wikingów? W Skandynawii. W szczególności Norwegia znana jest jako kraina Wikingów i legend. Znana jest sztuka Ibsena Peer Gynt, o takim jednym leniwym, o słabej woli. Byłby się stoczył kompletnie na manowce, gdyby go miłość Solvejgi nie uratowała. Nie na każdego z nas czeka Solvejga, zatem nie bądźmy leniwi – do roboty. Zabieramy się za szóstkę.
Tylko od której strony? Od strony norweskiej. Norwegiem był Ibsen, Norwegiem był Grieg (Suita Peer Gynt i piękne koncerty fortepianowe), Norwegiem był Sophus Lie – wspominałem już kiedyś o nim. Norwegiem by łPeter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918), matematyk, podobnie jak Sophus Lie. Gdzieś koło roku 1872, gdy powstawał właśnie Peer Gynt, Sylow udowodnił kilka twierdzeń o grupach skończonych. Dziś poznają jego twierdzenia wszyscy matematycy (nawet informatycy) zapoznający się z podstawami teorii grup. Nie mam zamiaru twierdzeniami Sylowa tu straszyć, ale z przynajmniej jednym, na początek, warto się zapoznać. No, może nawet nie tyle z samym twierdzeniem, ilez wnioskiem z pierwszego twierdzenia Sylowa.
A wniosek ten (przyjmijmy na wiarę, że daje się udowodnić) jest taki:
Sylow 1: Jeśli grupa G ma n elementów, i jeśli n jest wielokrotnością liczby pierwszej p, n=kp, wtedy w grupie G istnieje element g rzędu p.
Przypomnę, że rząd elementu g grupy, to najmniejsza liczba całkowita m>0 taka, że g do potęgi m jest jednością e grupy: gm=e.
Wyposażeni w tę broń pochodzącą od Wikinga zajmijmy się diabelską liczbą 6. Ile jest istotnie różnych grup mających 6 elementów?
Jedną poznaliśmy w poprzedniej notce: to grupa permutacji (grupa symetryczna S3) zbioru trzy-elementowego, która to grupa jest, tak się akurat składa, identyczna (izomorficzna) z grupą symetrii (grupa dwuścianu D3) trójkąta równobocznego.
Czy są jeszcze jakieś inny grupy o sześciu elementach?
Przypuśćmy, że G jest taką grupą. 6 dzieli się przez 3 i dzieli się przez 2. Zarówno 2 jaki i 3 to liczby pierwsze. Sylow mówi nam zatem, że w G jest element rzędu 3, nazwijmy go a, i jest element rzędu 2, nazwijmy go b:
a3 = e,
b2 = e.
Możemy teraz skonstruować sześć iloczynów postaciarbs:
e =a3b0=a0b2
a = ab0
b= a0b
aa
ab
aab
Wszystkie one są różne. Dlaczego? Można przejść po kolei. Przypuśćmy na przykład, że aa=ab. Wtedy, mnożąc przeza-1 z lewej strony, otrzymamy a=b. Ale to jest niemożliwe –Dlaczego? I tak dalej.
Skoro G ma sześć elementów, to powyższe iloczyny wyczerpują cała grupę. W szczególności ba musi być jednym z tych iloczynów.
Nie może być, że ba=b (dlaczego?), nie może być, że ba=e (dlaczego?), nie może być, że ba=a (dlaczego?), i nie może być, że ba=a2 (dlaczego?). Zatem musimy mieć:
ba = ab
lub
ba = a2b
Jeśli ba = ab, wtedy mamy grupę przemienną. Oznaczającba=ab=x mamy wtedy
x2= baba = abba = a2
x3 = a2ab = a3b = b
x4 = bba = a
x5= aab
x6 = e
Jest to po prostu grupa cykliczna (oznaczana C6), czyli grupa obrotów o kolejne wielokrotności kąta 60 stopni.
Jeśli natomiastba = a2b, wtedy, mnożąc z prawej przezb-1 = b, otrzymujemybab=a2, i mnożąc teraz z prawej przeza, otrzymujemy
baba = e
A to już znamy z poprzedniej notki – to grupa S3 = D3.
I tak, z pomocą Wikinga Sylowa poznaliśmy diabelskie narzędzia:
Są tylko dwie grupy o sześciu elementów:
-
przemienna grupa cykliczna C6
-
Grupa D3= S3
Jak widać diabeł ma repertuar wielce ograniczony. No, chyba, że sięgnie po grupy wyższego rzędu? Jak wysokiego? Może po monstrum? Z Wikipedii:
Grupa monstrum– w teorii grup grupa, która zgodnie z klasyfikacją skończonych grup prostych jest największą z tzw.sporadycznych grup prostych(nie należących do żadnej ze zdefiniowanych nieskończonych rodzin grup).
Istnienie grupy monstrum zostało przewidziane przez Bernda Fischera i Roberta Griessa w 1973 roku. Po raz pierwszy została skonstruowana przez Griessa w 1982 jako grupa automorfizmów algebry Griessa:196883-wymiarowejprzemiennej i niełącznej algebry[1].
Rząd grupy monstrum:
A w następnych notkach będę podobnie budować, z liter i ze słów, może innych niż nasza baba, inne grupy – wciąż jednak pozostając w ramach geometrii Fano.
Komentarze