Jest w trójkącie coś tajemniczego. Wiemy o tym wszyscy. Tyle, że nie jesteśmy pewni co to takiego.
Zagadka ma jednak rozwiązanie. I nie tak znów trudno to rozwiązanie znaleźć. Trzeba jednak w tym celu oswoić się nieco z teorią grup. Co niniejszym robimy.
Na początek musimy wybrać: czy zacząć od trójkąta czy od światła, które trójkąt zamieszkuje i z niego promieniuje?
Światło – to już po części należy do fizyki. A ta jest od matematyki nieco trudniejsza. Zacznijmy więc od trójkąta. Tym bardziej, że trójkąt nam się już nie raz objawił w poprzednich notkach jako model geometrii Fano.
Kontemplując symetrie równobocznego trójkąta zauważamy dwie podstawowe symetrie: obrót o 120 stopni i odbicie lustrzane:
Oznaczmy pierwszą transformację literką a, drugą literką b. Wykonując a kolejno trzy razy otrzymujemy obrót o 360 stopni – transformację tożsamościową. Zapisujemy to jako
I) a3 = e
Skoro a3 = e, to a2=a-1, a=a-2.
Oznaczmy obicie lustrzane, to na obrazku, literką b. Ewidentnie mamy
II) b2 = e
Zatem b=b-1.
A jaki jest związek pomiędzy a i b? Czy możemy taki związek znaleźć? Jeśli najpierw odbijemy, odbicie obrócimy w prawo, potem odbijemy jeszcze raz, to w rezultacie otrzymamy obrót w lewo. Odbicie zmienia kierunek obrotu, ale nie zmienia bezwzględnej wartości kąta obrotu. Możemy to zapisać jako:
bab=a-1
Lub, co na jedno wychodzi (mnożąc przez a z prawej strony),
-
baba=e
Otóż mogę wam teraz zdradzić tajemnicę trójkąta. Zakodowana jest w tych trzech formułach:
Tajemnica kodu Da Vinci:
a3 = e
b2 = e
baba = e
Bo, przypuśćmy, znaleźliśmy, gdzieś w sekretnych zapiskach, powyższe formuły. Zabieramy się do ich rozszyfrowania. Zapis sugeruje, że mowa o jakiejś grupie. Grupa ta ma elementy a,b spełniające powyższe reguły. Nic innego danego nie mamy, zatem całą grupę musimy wygenerować z tych symboli. Co to za grupa? Z literek a,b możemy budować słowa. W słowach tych, ponieważ mamy do czynienia z grupą, moglibyśmy użyć także odwrotności a-1 i b-1. Ale, z a3=e i b2=e wiemy już, że odwrotności można się pozbyć: a-1= a2, b-1= b. Budujemy więc słowa z symboli a i b. Słowa mogą być długie, np.
ababaaababbab
Przyjrzyjmy się temu słowu. Co można w nim wyredukować? Rzuca się w oczy aaa w środku. To jest e. Zatem opuszczamy. Zostaje
ababbabbab
Widzimy dwa razy bb, to jest e. Też opuszczamy.
abaaab
Znów pojawiło się aaa – opuszczamy. Zostaje
abb
Dwukrotne b – opuszczamy. Zostaje a.
Zatem, znając tylko kod, rozszyfrowaliśmy, że ababaaababbab to po prostu a.
I tutaj pamiętnik znaleziony w Saragossie się urywa. Obiecałem rozwiązanie tajemnicy, ale z tajemniczych przyczyn nie mogę wyjawić. Zatem
Zadanie: Znając kod, ile istotnie różnych słów można zbudować z symboli a,b? Co to za słowa?
Uwaga: Dobrze się przy tym umówić, że słowo bb będziemy zapisywać po prostu jako e.
