Będziemy dziś cyklinować. Ale nie parkiet. Będziemy cyklinować permutacje. Żartuję? Poniekąd. Cykliniarka ma bęben. Bęben się kręci w kółko. Wiemy już, z poprzednich notek, że w grupie skończonej każdy element kręci się w kółko. Jeśli g jest elementem skończonej grupy G, to podnosząc go do kolejnych potęg: g, g2,g3,.... dojdziemy w końcu do tego, że znajdzie się taka liczba m, że gm to znów g. Gdy nasza grupa G jest pełną grupą permutacji jakiegoś zbioru, wtedy możemy każdy element analizować w detalach – rozkładać go na cykle. Żeby było zabawnie – nazwę to cyklinowaniem.
A jak to cyklinowanie wygląda w praktyce?
Zacznijmy od permutacji zbioru pięcioelementowego, która sama jest cyklem, mianowicie od permutacji α opisanej przez:
α(1)=2, α(2)=3, α(3)=4, α(4)=5, α(5)=1
Możemy ją przedstawić w postaci tabelki:
Możemy ją przedstawić w postaci strzałkowej:
Ale też możemy ją przedstawić w postaci strzałkowo-nawiniętej:
Raz jest wygodnie tak, kiedy indziej inaczej. Jest wszakże też postać zwarta: permutację cykliczną, jak ta wyżej, zapisujemy krótko jako:
α = (1,2,3,4,5).
Widząc tak zapisaną permutację czytamy: 1->2, 2->3,...,4->5, 5->1. Oczywiście tą samą permutację możemy zapisać w postaci zwartej także jako
α = (3,4,5,1,2)
Dobrze się jednak umówić, że cykle zapisujemy ustawiając liczbę najmniejszą w danym cyklu na pierwszym miejscu.
Weźmy teraz inną permutację, która sama na cykl nie wygląda:
Otóż możemy ją przedstawić na obrazku tak
I faktycznie, analizujemy β, zaczynając od 1:
1->3, 3->7, 7->5, 5->1
Mamy więc pierwszy cykl w tej permutacji. Cykl ten nie obejmuje 2,4,6,8. Bierzemy 2. Widzimy, że 2->2. Zatem dwójka sama jest cyklem. W kolejności, dotąd nie opisane, jest 4. Patrzymy więc: 4->8, 8->6, 6->4. Cykl się zamknął. Wyczerpaliśmy wszystkie permutowane liczby. Zapisujemy to jako
β =(1,3,7,5)(2)(4,8,6)
By jednak rzecz skrócić, przyjęło się opuszczanie cykli trywialnych. Stąd stosuje się zapis
β =(1,3,7,5)(4,8,6)
Umowa jest taka, że jak czegoś po prawej stronie nie ma, to znaczy, że trzeba sobie dopisać odpowiednie cykle jednostkowe, jak cykl (2) powyżej.
Zaczęliśmy od 1, ale mogliśmy zacząć od 4. Zatem równie dobrze można napisać:
β =(4,8,6)(1,3,7,5)
Wiemy więc już jak czytać (4,8,6). To cykl 4->8->6->4, pozostałe liczby: 1,2,3,5,7 się nie ruszają ze swoich miejsc. Podobnie (1,3,7,5). Ta permutacja kręci 1,3,7,5 a nie rusza pozostałych. Ot takie dwa kręcące się niezależnie kółka zębate. Jedno nie zahacza o drugie.
Cykle (4,8,6) i (1,3,7,5) są ze sobą przemienne. Traktowane jako elementy grupy permutacji – są ze sobą przemienne.
Popatrzmy na postać strzałkowo-nawiniętą
Mamy cykle o długości 3 i 4. Cykl trywialny nas nie interesuje. Podnosząc permutację β do potęgi czwartej, cykl o długości 4 się zamknie. Podnosząc β do potęgi 3, cykl o długości 3 się zamknie. Jak jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 3 i 4? To wiemy, jest to 12. Zatem β w potędze 12 jest jedynką. Zatem rząd permutacji β to 12. Obliczyliśmy to wcale nie podnosząc β do dwunastej potęgi! I to jest jedna z zalet przedstawiania permutacji w postaci iloczynu niezależnych cykli! Górą cyklinowanie!
No to na koniec tej cykliniarskiej notki zadanko: rozłożyć na cykle permutację γ:
Jaki jest rząd tej permutacji?
Permutując i cyklinując odłożyliśmy na bok geometrię. Pamiętajmy jednak, że w sposób naturalny pojawiła się nam, w trakcie studiowania geometrii płaszczyzny Fano, grupa permutacji zbioru cztero-elementowego. I tą właśnie grupą zajmiemy się dokładniej w następnej notce. Mianowicie będziemy ją budować ze słów! A słowa to nie żarty, bo „Na początku było Słowo.”
Komentarze