W ostatniej notce wypłynęła, z przyczyn niejasnych, dwójkowo-trójkowo-czwórkowych, postać Jana Sebastiana Bacha i jego Preludium i Fugi BMV 552 a,b.
Słuchając nie ulega wątpliwości, że Jan Sebastian był mistrzem w sztuce permutowania. Sztuka to misterna, rozwija umysł, robiąc to w miły i relaksujący sposób. Proponuję więc byśmy także i my się z relaksowali, a przy okazji opanowali nieco tajemnych arkan tej sztuki.
Permutowaliśmy ściany kostki. Dziś ograniczymy się do permutowania liczb. Bo niemal wszystko daje się ponumerować. W końcu taka jest tendencja światowa. Kiedyś płaciliśmy monetami, srebrnymi, miedzianymi. Te złote raczej chowaliśmy głęboko „na przyszłość” (i słusznie). Dziś płacimy numerem karty kredytowej. Więc przyjrzyjmy się permutacjom liczb.
Te permutacje są ważne także z bardziej abstrakcyjnych powodów. Wszyscy wiemy coś o symetriach. Symetrie opisywane są matematycznie teorią grup. A każda grupa skończona (o skończonej liczbie elementów, lub inaczej: skończonego rzędu) jest podgrupą grupy permutacji jakiegoś skończonego zbioru liczb. Liczby, liczby … Co się tylko da sprowadzamy do liczb. I często na tym zyskujemy.
Więc weźmy ciąg liczb, powiedzmy (1,2,3,4,5,6,7,8) i ustawmy je w innym porządku, powiedzmy (3,2,7,8,1,4,5,6). Dokonaliśmy permutacji. Nazwijmy ją permutacją α.
Możemy tę permutację przedstawić na obrazku:
Moglibyśmy jednak ustawić inaczej, otrzymując w rezultacie (5,2,1,6,7,8,3,4). Nazwijmy tę drugą permutacjęβ.
Czy obrazek poniższy dobrze ją przedstawia?
Na tym drugim obrazku poprowadziłem strzałki z dolnego do górnego wiersza – ot, taka „wariacja na temat”, ale, w tym przypadku, wariacja celowa. Bowiem porównując dwa obrazki ze strzałkami widzimy, że permutacjaβ odwraca działanie permutacjiα.
α przeprowadza 1 w 3, zaśβ przeprowadza 3 w 1. Te dwa działania się kasują. Używając języka teorii grup mówimy, że β jest odwrotnościąα, co zapisujemy jako:
β = α-1.
Lub, co na jedno wychodzi,
α = β-1.
Jeszcze jeden przykład, tym razem z liczbami 1,2,3. Weźmy taką permutację: (3,1,2). Jakaż to permutacja jest do niej odwrotną?
Zapisujemy pod sobą:
1 2 3
3 1 2
Przestawiamy wiersze, umieszczamy dolny wiersz na górze:
3 1 2
1 2 3
A teraz porządkujemy kolumny:
1 2 3
2 3 1
I już mamy wynik: odwrotnością permutacji (1,3,2) jest permutacja (2,3,1). Co można zresztą odczytać z diagramu strzałkowego, który możesz sobie narysować na skrawku papieru.
Korzystając ze strzałkowej prezentacji permutacji, idąc za strzałkami, możemy bez żadnego wysiłku składać ze sobą (mnożyć) permutacje. Poniższy rysunek ilustruje to bez zbytecznych słów:
Pytanie: No dobrze, a jaki będzie wynik złożenia tych powyższych permutacji w odwrotnej kolejności?
Na koniec tej łatwej notki coś dla zaawansowanych:
Na permutację
możemy patrzeć na dwa sposoby. Sposób pierwszy właśnie stosowaliśmy powyżej: 1 przeszło w 3, 2 przeszło w 2, 3 przeszło w 7, itd. Drugi sposób to taki:
Jedynka była na którym miejscu? Na pierwszym. A po permutacji jest na którym? Na piątym. Dwójka była na drugim. A po permutacji jest na którym? Dalej na drugim. Trójka była na trzecim, po permutacji jest na pierwszym itd.. Rozumując w ten sposób niejako odwracamy interpretację naszej permutacji. W pierwszym przypadku patrzyliśmy na numerki w kolejnych klatkach. W drugim przypadku przestawiamy same klatki, wraz z numerkami. Wiąże się to z pasywnym i aktywnym sposobem patrzenia na transformacje. Na przykład gdy rozważamy transformacje na płaszczyźnie, możemy obroty interpretować po prostu jako obroty osi współrzędnych, samych figur nie ruszamy. Możemy tez jednak myśleć sobie, że nie ruszamy układu współrzędnych, natomiast obracamy figury. Przy tym obrócenie figury o np. 30 stopni w prawo jest równoważne z obróceniem układu współrzędnych o 30 stopni w lewo. Nie zawsze z kontekstu jest jasne co dany autor ma na myśli: transformuje pasywnie czy aktywnie? Wywnioskować to można dopiero wtedy, gdy przyjrzymy się w jaki sposób składa ze sobą transformacje. Czy będzie je zapisywał od lewej do prawej czy od prawej do lewej?
A pisząc tę notkę dźwięczą mi toccaty i fugi Jana Sebastiana. Słucham ich już od godziny. Słyszę tam cykle i przestawienia. To ważne, choć wcale nietrudne. Temu poświęcę następną notkę, gdzie także wrócimy do geometrii Fano.
