Zabawa Cztery kąty, a piec piąty.
Prowadzący dzieli uczestników na pięć równolicznych grup. Każda z grup zajmuje jeden kąt w sali, zaś jedna grupa środek sali, czyli ,,piec". Nauczyciel czyta lub opowiada jakąś historyjkę. Gdy podczas historyjki padną słowa(zupełnie nie związane z kontekstem),,cztery kąty, a piec piąty" - wszystkie grupy muszą zmienić się miejscami. Zadanie utrudnione jest tym, że wszyscy trzymają się za ręce i trzeba jednocześnie zdecydować się na dany kąt. Oczywiście ,,piec" stojący na środku stara się wykorzystać sytuację i zajmuje miejsce w kącie. Grupa, która została na środku, zostaje nowym ,,piecem" i zabawa toczy się dalej.
Grup to na moim blogu ostatnio pod dostatkiem. Także do czterech już nauczyliśmy się liczyć. W ostatniej notce wyrysowaliśmy cztery płaszczyzny rozpięte na wierzchołkach sześciennej kostki, z wykluczeniem wierzchołka o współrzędnych kartezjańskich (1,1,1). Przypomnę jak wyglądają:
Na wierzchołki sześcianu, a zatem także na rozpięte przez te wierzchołoki płaszczyzny, działa 24-elementowa grupa. Każda transformacja z tej grupy pozostawia wierzchołek (1,1,1) – ten „najdalszy od początku układu współrzędnych” nieruchomym. Oczywiście także nie rusza punktu (0,0,0) – bo transformacje są liniowe (modulo 2). Za to coś robi z pozostałymi sześcioma wierzchołkami. A konkretnie co?
Oto 24 macierze 3x3 naszej grupy – tak je jakoś w kolejności ustawiłem, ustawienie nie ma znaczenia. Jak widać macierz jednostkowa wypadła akurat na piętnastym miejscu.
1) [[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]],
2) [[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 1]],
3) [[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]],
4) [[0, 0, 1], [1, 0, 0], [1, 1, 1]],
5) [[0, 0, 1], [1, 1, 1], [0, 1, 0]],
6) [[0, 0, 1], [1, 1, 1], [1, 0, 0]],
7) [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]],
8) [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]],
9) [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]],
10) [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [1, 1, 1]],
11) [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]],
12) [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [1, 0, 0]],
13) [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]],
14) [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]],
15) [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]],
16) [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [1, 1, 1]],
17) [[1, 0, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]],
18) [[1, 0, 0], [1, 1, 1], [0, 1, 0]],
19) [[1, 1, 1], [0, 0, 1], [0, 1, 0]],
20) [[1, 1, 1], [0, 0, 1], [1, 0, 0]],
21) [[1, 1, 1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]],
22) [[1, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]],
23) [[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 0, 1]],
24) [[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]].
Ponumerowałem nasze cztery ściany w kolejności jak na obrazku: 1,2,3,4. Następnie sprawdziłem jak każda z 24 transformacji te ściany przedstawia. No, „sprawdziłem” to za mocno powiedziane. Kazałem komputerowi to wyliczyć! Czyli: jak przestawia 1,2,3,4. I co wyszło? Wyszło coś takiego:
1) 3214
2) 3241
3) 3124
4) 3142
5) 3421
6) 3412
7) 2314
8) 2341
9) 2134
10) 2143
11) 2431
12) 2413
13) 1324
14) 1342
15) 1234
16) 1243
17) 1432
18) 1423
19) 4321
20) 4312
21) 4231
22) 4213
23) 4132
24) 4123
Transformacja 15, element neutralny, jedność, transformacja identycznościowa, ta niczego nie przestawia. Ściana 1 przechodzi w ścianę 1, ściana 2 w ścianę 2, itd. Jak należało oczekiwać. Natomiast każda inna jakoś przestawia. Otrzymujemy w ten sposób wszystkie 24=4!=4x3x2x1 permutacje ciągu liczb (1,2,3,4).
Wniosek: nasza 24-elementowa grupa jest identyczna z grupą permutacji zbioru cztero-elementowego. Ta nazywa się też zwykle grupą symetryczną. W naszym przypadku, gdy działa na zbiór cztero-elementowy, oznaczana jest symbolem S4 lub S(4).
Zidentyfikowaliśmy więc 24-elementową podgrupę naszej 168-elementowej grupy wszystkich symetrii geometrii Fano. Odnotowujemy zatem pewien postęp.
Możemy więc postawić i zając się kolejnymi nasuwającymi się pytaniami. Takimi jak np. to:
Jak wyjaśnić te zjawiska? Z jaką geometrią są związane? Co tu jest "permutowane"? Modulo co?
Komentarze