Studiując własności płaszczyzny rzutowej Fano możemy przy okazji nauczyć się liczyć. Przynajmniej do czterech, a może i do dwudziestu czterech. Więc policzmy. Niedawno liczyliśmy płaszczyzny przechodzące przez początek kartezjańskiego układu współrzędnych i rozpięte na wierzchołkach jednostkowego sześcianu (w arytmetyce w której 1+1=0). Wyszło nam siedem. Oto one:
Ta ostatnia jakby trochę nie-płaska, ale w naszej dwójkowej arytmetyce jest płaska. Na płaszczyzny te, podobnie jak na same siedem niezerowych wierzchołków kostki działa grupa symetrii o 168 elementach. W ostatniej notce unieruchomiliśmy jeden z wierzchołków, mianowicie (1,1,1), i ograniczyliśmy się do tych symetrii naszej kostki, które nie ruszają tego wierzchołka. Ze 168 symetrii zostało nam 24. Te 24 symetrie tworzą grupę, oznaczmy ją literką H. Widzieliśmy na obrazku jak jej elementy działają na punkty, malowaliśmy orbity tej grupy.
A jak działa nasza 24-elementowa grupa na płaszczyzny?
Ale na które płaszczyzny? Czy musimy rozważać je wszystkie? Aż siedem? Siedem to duża liczba. Jak na początkujących grupowiczów zbyt duża. Pomyślmy więc czy nie da się zejść poniżej siedmiu? Skoro symetrie naszej grupy nie ruszają punktu (1,1,1), skoro transformują jakoś, jedne w drugie, pozostałe sześć punktów, to skoro jakaś płaszczyzna nie leży na punkcie (1,1,1), to i płaszczyzna przetransformowana nie będzie przechodziła przez punkt (1,1,1). A ile jest płaszczyzn nie przechodzących przez punkt (1,1,1)? Łatwo je policzyć. Oto one:
Wychodzi z rachunku: cztery!
Zatem nasza 24-elementowa grupa działa jakoś tam na te cztery płaszczyzny i przeprowadza je jedna w drugą.
No dobrze, to jeden punkt widzenia. Jest wszakże także inny. Operowanie arytmetyką binarną, współrzędnymi kartezjańskimi, to wymaga skupienia uwagi. Czy nie można zobaczyć tego jakoś bardziej poglądowo?
Oczywiście, że można. Mamy bowiem, niemal od początku tej mojej serii notek, łatwo wpadający w oko obrazek naszej geometrii:
Płaszczyzny z powyższych obrazków odpowiadają liniom w trójkącie. Linie łączące punkt (0,0,0) z pozostałymi siedmioma wierzchołkami kostki odpowiadają siedmiu punktom zaznaczonym w trójkącie Pomyślmy sobie, że linia z (0,0,0) do nieruchomego wierzchołka (1,1,1) to ten centralny punkt trójkąta. Ile jest linii w trójkącie nie przechodzących przez ten centralny punkt? Łatwo policzyć: trzy boki trójkąta i jedna okrągła. Razem cztery.
Zbliżamy się więc do zrozumienia związku pomiędzy rachowaniem na współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni dwójkowej a obrazkiem typu „święta geometria”. W naszych czterech płaszczyznach jest jakby”jedna wyróżniona” - ta zagięta. W trójkącie jest jedna jakby wyróżniona linia – ta kolista. Coś zaczyna świtać.
Co więcej, nasza grupa pozostawiająca punkt (1,1,1) nieruchomym (lub pozostawiająca punkt centralny trójkąta nieruchomym) ma 24 elementy. Zaś 24=1x2x3x4, to liczba permutacji zbioru cztero-elementowego. No i operuje ona na czterech liniach – trzech bokach i tej czwartej-kolistej.
Zbliżamy się więc do konkluzji:nasza 24-elementowa podgrupa to nic innego niż po prostu grupa wszystkich permutacji liczb 1,2,3,4.
Pojawia się jednak mały zgryz. Patrząc na trójkąt łatwo doliczyć się sześciu symetrii. Trzy to obroty o 0,120,240 stopni. No i trzy odbicia lustrzane względem linii przechodzących przez środek. To sześć. A gdzie pozostałe 24-6=18? Jak te niby działają na trójkąt?
Wot, zagwozdka....
