W geometrii, jak we wszystkim innym, potrzebna jest wytrwałość i cierpliwość. Ja ostatnio mam nowe hobby: poszukiwanie metali w ogródku – a ogródek mam spory. Dopiero po dwóch tygodniach nauczyłem się trochę techniki posługiwania się detektorem metali. Już nie kopię byle gwoździ. Wczoraj znalazłem srebrna obrączkę (no, nadłamaną) i parę starych monet (jedna, jak sprawdziłem, warta u numizmatyków ok. 800 PLN). Nie umiem jeszcze tych moich znalezisk czyścić. Próbuję kwasów, zasad, oleju, elektrolizy, ale wciąż wyniki kiepskie. Jednak nie poddaję się. Nawet wtedy, gdy się ma doświadczenie w jakiejś dziedzinie, nawet wtedy trzeba być przygotowanym na to, że prawdziwy uśmiech losu, „skarb”, przychodzi rzadko i nieoczekiwanie. Trzeba zatem zaakceptować fakt, że regułą są niepowodzenia. Wtedy, wcześniej czy później, los przynosi niespodziankę.
Oto więc fragment mojej nowej kolekcji:
Podobnie z geometrią i z jej symetriami – o czym ostatnio piszę. Kopania jest sporo, od czasu do czasu zabłyśnie srebro, ale tylko od czasu do czasu. Geometria Fano – najprostsza skończona geometria, ma w sobie ukryte liczby pierwsze takie jak 2,3,7. Piątka tam się jakoś pojawić nie chce. Koncentrowałem się dotąd na siódemce. W poprzednich notkach badaliśmy symetrie siedmiokrotne. A czyniliśmy to tak: bierzemy jednostkowy sześcian z jednym rogiem w początku kartezjańskiego układu współrzędnych (0,0,0). Pozostałe siedem wierzchołków mają współrzędne (0,0,1),(0,10),... i.t.d. Na wierzchołki sześcianu działają odwracalne macierze 3x3 z zerami i jedynkami w komórkach – jest tych macierzy 168. To nasza grupa symetrii, oznaczana zwykle symbolem GL(3,2). 3 – bo macierze są 3x3, 2 – bo wszystko to czynimy nad ciałem liczbowym Z/2Z, czyli operujemy w arytmetyce zero-jedynkowej z regułą 1+1=0. Ta grupa 168 symetrii to nasz „kraj”. Kraj podzieliliśmy na województwa – według „rzędu symetrii”. Symetrie siedmiokrotne tworzą województwo 7, ma ono 48 mieszkańców. To podzieliśmy na dwa powiaty, po 24 mieszkańców, a każdy z powiatów na osiem trzyosobowych gmin.
W poprzedniej notce widzieliśmy, jak każda z siedmiokrotnych symetrii, startując z ustalonego wierzchołka (0,0,1) zakreśla drogę w zbiorze siedmiu wierzchołków, przebiegając wszystkie wierzchołki, nigdzie się nie zatrzymując, by po siedmiu krokach wrócić do punktu wyjścia – punktu v0=(0,0,1).
Ale symetrie siedmiokrotne to tylko część naszego kraju. Co z pozostałymi województwami? Nie możemy ich zaniedbać. Przyzwoity król myśli o całym kraju, zarówno o województwach bogatych, jak i o tych biednych. Zajrzyjmy więc do tych najbiedniejszych. Siódemki biegają żwawo po wszystkich siedmiu rogach naszej kostki. No dobrze, te nie mają kłopotów. Ale co z tymi, co w naszym punkcie startowym (0,0,1) utknęły i nie mogą się z niego ruszyć?
Krótko mówiąc, jeśli oznaczymy naszą 168-elementową grupę literką G, to interesuje nas teraz podzbiór H złożony z tych macierzy g dla których
g.v0 = v0 (modulo 2)
Ten podzbiór jest niepusty, bo jedność grupy, g=e, do niego należy. Ta nie rusza w ogóle żadnego punktu. Co więcej, jeśli g i g' należą do H, to ich złożenie gg' też należy do H. A także, jeśli g należy do H, to również element odwrotny, g-1, należy do H. Zatem H jest grupą ze względu na złożenia (mnożenie macierzy) Mówimy, że H jest podgrupą grupy G.
Ponieważ jest to podgrupa złożona z symetrii nie ruszających ustalonego punktu v, mówi się, że H jest to grupa stabilności punktu v, albo, że jest to grupa izotropii punktu v0, czasem mówi się „mała grupa” punktu v0. Ile ma ona elementów? Nietrudno je znaleźć. Można użyć programu komputerowego, na przykład Maximy, o której pisałem. Nie wiem czy ktoś z Czytelników tym lub podobnym programem włada, nie miałem na moje wzmianki o Maximie żadnych reakcji, ale, na wszelki wypadek, dla zainteresowanych, udostępniam listę wszystkich 168 macierzy grupy G – tutaj. Każdy może sobie ją wyedytować pod swój ulubiony program.
Otóż wpuszczenie krótkiego programiku na komputer daje taki wynik:
Podgrupa H ma 24 elementy. To są te ze 168 symetrii, które z punktu v=(0,0,1) w ogóle ruszyć nie mogą. Utknęły tam. Z innych wierzchołków będą (na ogół) ruszać, a z tym akurat mają kłopoty.
Mając tych 24 mieszkańców naszego kraju możemy zająć się ich demografią – jak ta problemowa grupa rozkłada się na województwa? Wynik jest taki:
Symetrie dwukrotne – 9
Symetrie trzykrotne - 8
Symetrie czterokrotne – 6
Razem 9+8+6 =23
No i symetria jednokrotna e, razem 23+1=24. Bilans się zgadza. Lista wszystkich 24 macierzy podgrupy H jest tutaj.
W notce Mondrian 168 przedstawiałem „obrazek” tabliczki mnożenia grupy G. Teraz przedstawię obrazek podgrupy H. Wygląda to tak:
Obrazek jest wynikiem takiego a nie innego ponumerowania elementów podgrupy H, od 1 do 24. Następnie biorę iloczyn i-tego i j-tego elementu, Wynikiem jest element z jakiś numerkiem k. Zatem w wierszu i, kolumnie j, obrazka wstawiam odpowiedni kolor tęczy odpowiadający numerkowi k. Niewiele to mówi o strukturze podgrupy H, ale coś tam widać! Jakąś regularność, być może wartą dalszego zbadania. Tylko jak to robić? Jak widzieć strukturę grupy lepiej niż na kolorowych obrazkach w stylu nieco abstrakcyjnym? Tym się zajmiemy w przyszłych notkach.
Póki co zauważmy, że 24 to przecież 1x2x3x4, czyli 4!, a jest to liczba permutacji zbioru cztero-elementowego. Czy to przypadek? Czy też może H jest w samej rzeczy identyczna z grupa permutacji liczb (1,2,3,4)? A może H jest identyczna z grupą symetrii czworościanu foremnego?
Pytania, pytania. Trzeba będzie się nimi zająć. W dalszym ciągu postaramy się na te pytania znaleźć odpowiedź. Przy okazji zapoznamy się, mam nadzieję, że bezboleśnie, z elementami teorii grup. A grupy są ważne, bo co jest piękniejszego od pięknej symetrii?
