Od pewnego czasu bawimy się sześcienną kostką. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y,z) jej rogi mają współrzędne: (0,0,0) – początek układu, a dalej (0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1). Interesują nas proste łączące punkt (0,0,0) z pozostałymi siedmioma punktami. Jest tych prostych siedem. Operuje na nich grupa GL(3,2) o 168 elementach – grupa symetrii płaszczyzny rzutowej Fano. Rozważaliśmy pewne aspekty tej grupy w poprzednich notkach. Występują w niej (oprócz trywialnej symetrii jednokrotnej) symetrie dwu-, trzy- cztero- i siedmiokrotne. Zajęliśmy się tymi siedmiokrotnymi – jest ich 48 i dzielą się na dwie klasy A i B, po 24 elementy w każdej klasie. W każdej z tych klas jej elementy są do siebie podobne. Żadne dwa elementy z różnych klas do siebie podobne nie są.
No dobrze, ale co one robią?
Ano łażą po rogach kostki. Jedne tak, inne inaczej. Każdy wykonuje siedem kroków, odwiedza każdy z siedmiu rogów tylko jeden raz, i wraca do punktu wyjścia. A jak te wędrówki wyglądają? Czy są miłe dla oka? Pijane czy też, jak nasze poczucie estetyki, jakieś „regularne”?
Przyjrzyjmy się zatem wędrówkom mieszkańców województwa 7 i oceńmy. Która z nich podoba nam się najbardziej? Która najmniej?
Na obrazkach poniżej przedstawiłem drogi dla każdego z 48 elementów symetrii siedmiokrotnej. Osobno dla klasy A i osobno dla klasy B. Za każdym razem zaczynam wędrówkę od tego samego wierzchołka (0,0,1). Na obrazkach jest to lewy górny róg sześcianu. Po wykonaniu sześciu kroków, krok siódmy to powrót do punktu wyjścia. Już go nie rysowałem, bo w ten sposób łatwiej prześledzić drogę. Każdy może sobie w myśli dodać ten krok siódmy. No, ewentualnie mógłbym go narysować innym kolorem, ale to by skomplikowało grafikę.
Zatem oto wędrówki każdego z mieszkańców województwa symetrii siedmiokrotnych:
Powiat A:
Powiat B:
Proponuję głosowanie na najciekawszy sposób poruszania się.
P.S. Każda droga to obraz działania kolejnych sześciu potęg danego elementu na wektor początkowy (0,0,1).
