Nad tym co było na początku ludzie debatują od zarania dziejów. Według Chińczyków na początku było Tao – bezforemny chaos. Tak samo jest u Junga, tyle, że ten zamiast słowa Tao używa innego słowa: „pleroma”. Jak jednak z chaosu mogło wyłonić się coś niechaotycznego? O tym filozofowie zazwyczaj milczą. Albo zwalają odpowiedzialność na Przypadek – tym samym robiąc z przypadku Boga.
Innym możliwym podejściem jest hipoteza, że na początku był nie tylko Chaos, lecz i Porządek. Chaos by w jednej połowie Wszystkiego, Porządek był w innej. Chaos nie mógł wytrwać sam w sobie, coś tam z Porządku chwycił i tak się zaczęło: chwila t=0.
Tak jest u mojego ulubieńca, Burkharda Heima. Heim nie używa słów Tao i Pleroma, używa tu greckiego słówka „Apeiron”.
Z Wikipedii:
Apeiron (gr. ápeiros - bezgraniczny, nieskończony) – w filozofii Anaksymandra z Miletu: bezkres - bezgraniczna, nieskończona pramateria, zasada świata (arché), będąca jego podstawowym tworzywem i regułą, według której funkcjonuje. Apeiron wg Anaksymandra musi być nieskończony i nieokreślony[1].
Z "koła filozofia":
ANAKSYMANDER
Główną kwestią, stanowiącą przedmiot zainteresowania filozofów przyrody było zagadnienie arche, czyli prazasady, determinującej rzeczywistość. Wyraz arche, który znaczył tyle, co początek, zaczął oznaczać, gdy został zastosowany w filozofii - zasadę; uległ analogicznej przemianie, jak później łaciński wyraz "principium", pierwotnie znaczący tyle, co "początek", a potem tyle, co " zasada ". Anaksymader, choć podążał drogą wyznaczoną przez swojego poprzednika, Talesa, inaczej rozwiązywał powyższy problem. Twierdził, że zasadę rzeczywistości stanowi apeiron (gr.τὸ ἄπειρον to apeiron od słowaπέρας peras "kres, granica") czyli bezkres. Tezę tę Anaksymander opierał na następującym rozumowaniu: Wszystko albo jest zasadą, albo pochodzi od zasady. Jednocześnie, nie istnieje zasada nieskończoności, bo nieskończoność jest niedeterminowalna, a zasada determinuje to, czego jest zasadą. Jeżeli nieskończoność nie ma zasady, to z konieczności sama musi zasadę stanowić.
Mechanizm tworzenia świata polegał zaś według niego na wyłanianiu się z apeironu przeciwieństw, takich jak ciepło i zimno, suchość i wilgotność. Wszelkie narodziny oznaczają rozdzielanie się przeciwieństw, zaś każda śmierć to ponowne łączenie się ich w bezkształtnym bezkresie. Anaksymander nieodmiennie wiąże pojęcie rozdzielenia z winą, której w ten sposób dopuszcza się materia, i wprowadza konieczność odpokutowania za nią przez ponowne połączenie się w bezkres. W ten sposób także i nasz świat dosięgnie kiedyś ręka sprawiedliwości i zniknie on w ten sam sposób, w jaki się pojawił. Widoczne są tu wpływy orfizmu i koncepcji metempsychozy.
Warto nadmienić, że Anaksymander dopuszczał możliwość istnienia nieskończonej ilości światów, skoro wszystkie powstawały z nieskończonego apeironu.
Anaksymander zajmował się matematyką, geografią i astronomią.
Był twórcą pierwszej mapy świata i autorem tezy, że gwiazdy krążą wokół Gwiazdy Polarnej. Był również pierwszym filozofem sugerującym, że powierzchnia Ziemi jest zakrzywiona, oraz że może ona "pływać" w przestrzeni. Według jego teorii Ziemia jest powierzchnią walca zakrzywioną w kierunku północno-południowym.
Zajmował się również "biologią". Twierdził, że zwierzęta lądowe wywodzą się od zwierząt morskich, a człowiek - z niższych gatunków zwierząt.
Przypisuje mu się wynalezienie zegara słonecznego oraz modelu sfer planetarnych. Zasada bytu według Anaksymandra wiąże się nierozerwalnie z ruchem spiralnym.
Z prac Anaksymandra pochodzi pierwsze zachowane greckie zdanie napisane prozą naukową
Ja, osobiście, wolę startować od początku, od symetrii, i pozwolić się tej symetrii łamać. Można więc mnie nazwać „aperionistą”. Startowanie od chaosu jakoś mnie mniej pociąga. Oczywiście pytanie „skąd się wziął porządek” pozostawiam bez odpowiedzi. Zbywam co najwyżej: „z piękna”, „z miłości”. Ale jeśli już jestem przyciśnięty do muru, to odpowiadam: na początku były liczby pierwsze. Bo cóż może być bardziej pierwszego niż liczby pierwsze?
W matematyce porządek opisywany jest przez jakieś tam symetrie, te zaś tworzą różne „grupy symetrii.” Jedną taką grupą się ostatnio zajęliśmy – grupa złożoną ze 168 elementów symetrii najprostszej geometrii – geometrii Fano, o siedmiu punktach i siedmiu liniach. Geometria może się przejawiać w tej czy innej postaci – jednak grupa symetrii pozostaje ta sama. Więc może grupa symetrii jest czymś nawet pierwotniejszym niż „to czego symetriami ta grupa jest”? Warto więc się zająć samymi grupami, przyjrzeć się ich życiu wewnętrznemu. Zajmujemy się zatem jedną z takich grup, związaną w tajemniczy sposób z liczbą siedem, grupą złożoną ze 168 elementów. Nie za mało i nie za dużo. W sam raz na początek.
W poprzedniej notce zajmowaliśmy się cyklami. Każdy element z grupy o skończonej liczbie elementów ma określony rząd – to długość cyklu tego elementu. Jeślig jest elementem skończonej grupy symetrii, to istnieje taka liczba naturalnan dla którejgn= e. Pierwsza z takich liczbn dla której wykonanie po sobien razy tej samej operacji symetrii przywraca stan wyjściowy to właśnie rząd elementug – to długość cyklu tego elementu. I tak, badając cykle każdego ze 168 elementów naszej grupy, stwierdzamy, że występują tu cykle o długościach 1,2,3,4 i 7.Zauważmy, przy okazji, że 1,2,3,7 to liczby pierwsze, zaś 4 to kwadrat liczby pierwszej. Być może jest w tej naszej obserwacji jakaś ogólna prawidłowość? To trzeba by było zbadać na innych grupach.
Mamy jeden element o długości cyklu 1 – element e (jedynka grupy), a potem
21 elementów o rzędzie 2
56 elementów o rzędzie 3
42 elementy o rzędzie 4
48 elementów o rzędzie 7
Razem 1+21+56+42+48=168. Bilans się zgadza. Podzieliliśmy nasze państwo na województwa pięć województw. Przy tym pierwsze z nich ma jedynie jednego mieszkańca! Jednak czy nie można województw podzielić jakoś na powiaty? Tym się dziś zajmiemy. Okaże się, że każdy powiat z pierwszych czterech jest całym województwem, natomiast województwo 7 ma dwa powiaty – po 24 mieszkańców każdy.
Dwa elementy grupy należą (z definicji) do tego samego powiatu jeśli są do siebie podobne - w matematyce używamy słowa „ze sobą sprzężone”. A sprzężoność definiuje się tak:
x iy są ze sobą sprzężone gdy istnieje taki elementg, że
y = gxg-1.
Lub, jak kto woli:
yg = gx
Elemente jest sprzężony tylko z sobą samym. Każdex jest sprzężone ze sobą samym (wystarczy wziąćg=e). Gdyx jest sprzężone zy toy jest sprzężone zx. Gdyx jest sprzężone zy, zaśy sprzężone zz, tox jest sprzężone zz. Bycie ze sobą sprzężonym jest relacją równoważności. Cała grupa rozkłada się na rozłączne zbiory – klasy równoważności. To nasze powiaty. W każdym powiecie mamy elementy wzajemnie do siebie podobne. Żadne elementy z dwóch różnych powiatów nie są do siebie podobne.
1
Dlaczego?
Bo przypuśćmy, żeyjest sprzężone zx:
y = gxg-1
Przypuśćmy, żexma rządn: xn=e, powiedzmyn=3.Wtedy
y3=yyy = gxg-1gxg-1gxg-1=gxexexg-1(bo gg-1= e) = gx3g-1= geg-1=gg-1=e
Tak samo dla innychn.
Pozostaje nam sprawdzenie jak duże są powiaty w naszych województwach. Pomogła mi w tym Maxima. W komentarzu do notki Cykle czyli „to już było” podałem link do programiku dla Maxima. Mój programik wylicza długości cyklu każdego ze 168 elementów grupy i robi listy wszystkich elementów. Biorę więc pierwszy element listy o cyklu 2. Szukam elementów do niego sprzężonych - szukam powiatu do którego ten element należy. Ten powiat nie może mieć więcej mieszkańców niż województwo – w tym przypadku 21. Pierwszy z elementów o cyklu 2 to macierz
matrix([0,0,1],[0,1,0],[1,0,0])
Oznaczam go przez x1:
x1:grm[cykl2[1]];
Następnie szukam macierzy z tą macierzą sprzężonych:
sim2:[x1]$
for i:1 thru 168 do sim2:append(sim2,[mod(grm[i].x1.grm[i]^^(-1),2)]);
sim21:unique(sim2);
length(sim21);
Wychodzi, że jest ich 21. Nasz powiat jest zatem jednocześnie całym województwem.
I tak samo wychodzi dla cykli 3 i 4. Ale dla cyklu siedem wychodzi 24:
x7:grm[cykl7[1]];
sim7:[x7]$
for i:1 thru 168 do sim7:append(sim7,[mod(grm[i].x7.grm[i]^^(-1),2)]);
sim71:unique(sim7);
length(sim71);
Zatem powiat do którego należy pierwszy element cyklu 7 jest połową województwa. Sprawdzam, że drugi element z listy elementów o cyklu siedem do tego powiatu nie należy. Szukam więc powiatu do którego należy:
x7a:grm[cykl7[2]];
sim7a:[x7a]$
for i:1 thru 168 do sim7a:append(sim7a,[mod(grm[i].x7a.grm[i]^^(-1),2)]);
sim7a1:unique(sim7a);
length(sim7a1);
Wychodzi też 24. Ale 24+24=48 – całe województwo. Więc innych powiatów już w naszym województwie 7 nie ma.
Województwo 7 dzieli się na dwa równoliczne powiaty, jeden niepodobny do drugiego. No, niby podobne, bo każdy składa się wyłącznie z elementów o cyklu 7, ale żaden element jednego powiatu nie jest sprzężony z jakimś elementem drugiego powiatu.
Czemu tak jest? Czy można to jakoś zrozumieć? Rozumiemy, że jest symetria siedmiokrotna – widzieliśmy ją na modelu.Ale żeby były dwa różne rodzaje takich symetrii? O co tu idzie?
Trzeba by to jakoś zrozumieć ….
