W księdze Genesis czytamy:
Gen 2:1 W ten sposób zostały ukończone niebo i ziemia oraz wszystkie ich zastępy [stworzeń].
Gen 2:2 A gdy Bóg ukończył w dniu szóstym swe dzieło, nad którym pracował, odpoczął dnia siódmego po całym swym trudzie, jaki podjął.
Gen 2:3 Wtedy pobłogosławił ów siódmy dzień i uczynił go świętym; w tym bowiem dniu odpoczął po całej swej pracy, którą wykonał stwarzając.
Ale czy tak było naprawdę? Czy Bóg w dzień siódmy tak w ogóle nic nie robił? Leżał sobie cały dzień na kanapie? Jakoś mi to nie pasuje. Mam swoją teorię: W dzień siódmy (choćby i dla odpoczynku) stworzył Bóg „Geometrię”. I widział, że to było dobre.
W kilku poprzednich notkach o tej boskiej geometrii zacząłem pisać. Przypomnę: geometria (a mam tu na myśli „geometrie skończone”) składa się z „linii” i z „punktów”. Mamy też tam pojęcie „linia leży na punkcie” oraz „punkt leży na linii”. Nie jest wykluczone, że w ten siódmy dzień stworzył Bóg geometrię w której mamy siedem punktów i siedem linii. Geometrię tą można zawrzeć w kilku zasadach-aksjomatach:
A1. Istnieje co najmniej jedna linia
A2. Na każdej linii leżą dokładnie trzy punkty
A3. Nie wszystkie punkty geometrii leżą na na tej samej linii
A4. Dla każdych dwóch punktów istnieje dokładnie jedna leżąca na nich linia
A5. Każde dwie linie mają przynajmniej jeden punkt wspólny.
Nie każdy układ aksjomatów jest niesprzeczny. Ten jest niesprzeczny, bowiem możemy znaleźć model. Oto jeden z modeli:
Punkty zaznaczone są małymi kółkami, linie pokolorowane. Na każdej linii mamy trzy punkty, nie wszystkie punkty leżą na tej samej linii, dla każdej pary punktów mamy dokładnie jedną leżącą na nich linię i każde dwie linie mają przynajmniej jeden punkt wspólny. Aksjomaty są spełnione, mamy oto model. Jest siedem linii i jest siedem punktów. W sam raz jak na dzieło dnia siódmego.
O tych liniach i punktach chcę rozmawiać. By było łatwiej, dobrze te linie i punkty jakoś oznaczyć, ponumerować. Jeden będzie numerował w jednej kolejności, inny w innej. Czy istnieje jakiś „optymalna” metoda numerowania linii i punktów? Słówko „optymalny” jest jednak zwodnicze. Co jest optymalne dla jednego celu może być nieoptymalne dla innego celu. Nie należy się przy tym sugerować modelem. Bo dana geometria może mieć (i ma) wiele różnych modeli. Jednak ponumerować warto. Oznaczę punkty symbolami P0,...,P6 zaś linie l0,...l6. I ponumeruję je tak:
Czemu tak? No, widać przynajmniej taką regułę, że punkt P0 leży na linii l0, P1 na linii l1, itd. Jest więc w tej mojej numeracji pewna metoda. Ale dlaczego tak mi jest wygodnie? Zobaczymy to wkrótce.
Model na obrazku może nasunąć trochę pytań. W samych aksjomatach nie widać by jakieś punkty lub linie mogły być wyróżnione. A na modelu są takie wyróżnione linie i punkty. Na przykład P3 leży”w środku trójkąta”. Albo: P2 leży „w środku” linii l1. Od takiego myślenia trzeba się jednak odciąć. Z aksjomatów nie da się nijak zdefiniować „środka linii”. Te nasze „środki” są artefaktami modelu, nie są przyrodzonymi własnościami samej geometrii.
Nasz model jest symetryczny. To widać. Ale czy nie mógłby być bardziej symetryczny? Czy okręgu nie dałoby się zastąpić „linią prostą” w jakimś innym, być może więcej wymiarowym modelu? Albo, czy prostych nie dałoby się zastąpić okręgami?
Są to ciekawe pytania. Więc może nie będzie od rzeczy przedstawienie innego modelu naszej geometrii. Będę odtąd nazywać ją „płaszczyzną Fano” (ang. Fano plane) - bo tak się przyjęło. Oto model alternatywny tej samej geometrii:
Pokolorowałem tylko linie l0 i l1. Pozostałe mają ten sam kształt. Na przykład
l2 leży na P2, P3,P5
l3 leży ma P3,P4,P6
l4 leży ma P4,P5,P0
l5 leży ma P5,P6,P1
l6 leży ma P6,P0,P1
Widać jasną regułę i widać wyraźnie siedmiokrotną symetrię geometrii. Zatraciła się jednak przy tym symetria trójkątna! Masz babo placek! Niemniej linie z tymi samymi numerami leżą na punktach z identycznymi numerami jak w modelu trójkątnym!
Jaka jest więc ta prawdziwa symetria naszej geometrii?
Nad tym trzeba popracować....
Komentarze