Tak sobie rozmawiamy o różnych “geometriach”. Geometrię lubię, bodaj nawet ja kocham, a przy tym myślę, że nie jestem w tym odosobniony. Tak w ogóle, to lubię szczególnie “geometrie rzutowe”. Wciąż się tego uczę. A czego się nauczę, to zaraz chcę się tym podzielić. No i tak powstają moje notki. Mam zamiar napisać więcej o geometrii z obrazka z poprzedniej notki – o “płaszczyźnie Fano”. Czemu to ma być płaszczyzna? Siedem punktów I siedem linii – co to za płaszczyzna? A jednak, jak mam nadzieję, wkrótce pokażę, że to w istocie jest “płaszczyzna”, tyle, że rzutowa. I jest to przy tym coś w rodzaju “atomu” wszystkich geometrii rzutowych. Nic prostszego a nietrywialnego wymyślić się nie da. Zobaczymy, że ma to związek z układem dwójkowym – używanym w logice, że ma to związek z czworościanem foremnym, a także z pewnym obrazkiem, który kiedyś pokazywałem na kółku Eshera.
Ale o tym potem. Chcę zacząć od rzeczy podstawowych, od wprowadzenia pewnych terminów używanych przez matematyków badających geometrie skończone (a tych jest coraz więcej, bo na to są pieniądze, bo to wiąże się z kryptografią).
Przestrzeń liniowa (ang. 'linear space'):
L1 Każda linia leży na co najmniej dwóch różnych punktach
L2 Każda para dwóch różnych punktów leży na dokładnie jednej linii
Przestrzeń prawie-liniowa (ang. 'near-linear space'):
Jeśli aksjomat L2 zastąpimy słabszym:
L2' Każda para punktów leży na co najwyżej jednej linii
wtedy mówimy o przestrzeni “niemal-liniowej”.
Z definicji wynika, że każda przestrzeń liniowa jest automatycznie przestrzenią niemal-liniową. Bowiem logicznie: jeśli dwa punkty leżą na jednej linii, to tym samym, automatycznie, leżą na “co najwyżej jednej linii'.
Przykłady:
-
Weźmy zwykłą euklidesową trójwymiarową przestrzeń, z jej zwykłymi punktami i liniami (prostymi). L1 jest wtedy prawdziwe i L2 też. Jest to więc “przestrzeń liniowa”.
-
A teraz weźmy tę samą przestrzeń trójwymiarową, niechaj jej punkty będą naszymi punktami, zaś za linie spróbujmy wziąć płaszczyzny. L1 jest spełnione: każda płaszczyzna leż na co najmniej dwóch różnych punktach. Ale L2, ani nawet choćby L2', nie jest spełnione.
-
A oto przykłady cztero-punktowych przestrzeni niemal-liniowych (wzięte z Encyklopedii PlanetMath.org)
Które z nich są “przestrzeniami liniowymi”?
A w następnej notce będzie już o najprostszej “geometrii rzutowej”.
