W poprzedniej notce zaproponowałem geometrię-zabawkę. Niekategoryczny system aksjomatów dopuszczający wiele różnych modeli. Przypomnę te aksjomaty z poprzedniej notki:
-
Istnieje pięć punktów
-
Każda linia jest podzbiorem zbioru tych punktów
-
Istnieją dwie linie
-
Każda linia zawiera co najmniej dwa punkty
A oto dwa różne modele spełniające te aksjomaty:
Dziś przejdę od geometrii zabawki do geometrii zabawnej. Oto jej aksjomaty:
-
Istnieje co najmniej jedna linia
-
Na każdej linii leżą dokładnie trzy punkty
-
Nie wszystkie punkty geometrii leżą na na tej samej linii
-
Dla kadych dwóch różnych punktów istnieje dokładnie jedna leżąca na nich linia
-
Każde dwie linie mają przynajmniej jeden punkt wspólny
W tym systemie nie mówi się ile jest linii. Nie mówi się też ile jest punktów. A jednak …
A jednak jest to system kategoryczny. Można udowodnić, w oparciu o aksjomaty, następujące twierdzenie:
Twierdzenie: Istnieje dokładnie x punktów i dokładnie y linii.
Zadania:
-
Zgadnąć x i y.
-
Zbudować model.
-
Udowodnić, że jest to jedyny model.
Dlaczego nazywam tę geometrię zabawną? O tym w przyszłości.
