Greka Euklidesa znamy jako autora pierwszego systemu aksjomatycznego, systemu, który bodaj zapoczątkował to z czego dziś tak jesteśmy dumni: naukę prawdziwie ścisłą. „Elementy” Euklidesa wywierały ogromne wrażenie na wielu późniejszych uczonych: matematykach, fizykach, filozofach. Geometria, będąc nauką ścisłego myślenia, jest nauczana w szkołach. Jedni ją lubią, inni cierpią, jeszcze inni jej nie cierpią. W swych Elementach ma jednak Euklides zarówno fragmenty intuicyjne jak i fragmenty logiczne. Nie zawsze jedne od drugich odróżniamy.
Geometria zaczyna się od wprowadzenia pojęć punktów i linii. Tyle wystarcza dla uprawiania geometrii płaskiej. W geometrii przestrzeni dochodzą jeszcze płaszczyzny (a ogólniej: powierzchnie).
Wprowadza Euklides te pojęcia tak:
1. Punkt jest tym, co nie ma części lub nie ma żadnej wielkości.
2. A linia jest to długość bez szerokości.
3. A końcami (kresami) linii są punkty.
4. Linią prostą jest ta, która jest jednakowo położona względem punktów na niej leżących.
5. Powierzchnią jest to, co ma tylko długość i szerokość.
6. A kresami powierzchni są linie.
7. Powierzchnią płaską jest ta, która jest jednakowo położona względem prostych na niej
leżących.
......
Nie są to żadne ścisłe definicje. Są to jedynie opisy mające nakierować intuicję w pewnym określonym kierunku. Prawdziwa ścisła geometria zaczyna się dopiero od aksjomatów (postulatów):
1. Zakłada się, że od każdego punktu do każdego punktu można poprowadzić linię prostą.
2. I że ograniczoną prostą można ciągle przedłużać po prostej.
3. I z każdego środka każdym rozwarciem można zakreślić okrąg.
4. I że wszystkie kąty proste są równe między sobą.
5. I jeżeli prosta padająca na dwie równe proste tworzy po jednej stronie kąty wewnętrzne,
które w sumie są mniejsze od dwóch prostych kątów, to proste przedłużone
nieograniczenie schodzą się po tej stronie, po której kąty te są w sumie mniejsze od
dwóch prostych.
Ja jednak, tutaj, chcę zacząć od geometrii o wiele prostszych. Rozważmy na przykład taki układ aksjomatów „geometrii trzypunktowej”:
Aksjomaty:
-
Istnieją dokładnie trzy różne punkty.
-
Każde dwa różne punkty leżą na dokładnie jednej linii.
-
Nie wszystkie punkty leżą na jednej linii.
-
Każde dwie różne linie leżą na przynajmniej jednym (wspólnym) punkcie.
W tym układzie aksjomatów mamy trzy pojęcia pierwotne: punkt, linia, „leży na”. Pojęć tych nie definiujemy. Ich własności, wszystkie nam potrzebne, są zawarte w naszych czterech aksjomatach.
I od tego chcę zacząć moje wprowadzenie do geometrii. Proponuję zatem byście, w oparciu o powyższe aksjomaty udowodnili dwa „twierdzenia”:
Twierdzenie 1: Każde dwie różne linie leżą na dokładnie jednym (wspólnym) punkcie.
Twierdzenie 2: Jest dokładnie x linii.
W twierdzeniu 2 należy zgadnąć x i wtedy udowodnić.
P.S. Rozumienie tego co to jest linia jest przydatne w codziennym życiu. Oto linia w praktyce – przy okazji układania tarasu w naszym domu:
