W życiu codziennym co i rusz podejmujemy decyzje. W wyniku decyzji dokonujemy operacji. Jednak przy dokonywaniu operacji często ważna jest ich kolejność. Mając operację A i operację B, możemy najpierw wykonać A zaś potem B, co oznaczę symbolem BA (czytamy od prawej). Możemy też jednak wykonać najpierw B, a dopiero potem A. Symbolicznie: AB. Czasem rezultat nie zależy od kolejności, czasem jednak zależy.
Przykład: Jeśli stoję na płaskim terenie i wykonam najpierw krok w prawo (A), potem taki sam krok w przód (B), znajdę się w przeciwległym wierzchołku kwadratu – to wynik operacji BA. Mogę jednak najpierw wykonać krok w przód (B), potem taki sam krok w prawo (A). W wyniku operacji AB znajdę się dokładnie w tym samym miejscu:
Przesunięcia są przemienne. Przesunięcia tworzą grupę: złożenie dwóch przesunięć jest przesunięciem, i dla każdego przesunięcia istnieje przesunięcie odwrotne (neutralizujace przesunięcie pierwotne). Kolejność przesunięć nie jest istotna, wynik wykonania po sobie dwóch różnych przesunięć nie zależy od ich kolejności. Mówimy, że grupa przesunięć jest przemienna.
Inaczej jest z obrotami. Przez obrót rozumiem obrót o pewien kąt wokół jakiejś osi w przestrzeni. Wykonanie po sobie dwóch obrotów jest obrotem. Trzeba się trochę napocić by to matematycznie udowodnić. Można te poty następnie sprawdzić w praktyce i przekonać się, że nasz model matematyczny obrotów jest zgodny z rzeczywistością. Do każdego obrotu istnieje obrót odwrotny (wokół tej samej osi co obrót pierwotny, o ten sam kąt, tylko w przeciwną stronę). Obroty zatem tworzą też grupę. Nazywa się ja grupą obrotów trójwymiarowch. Obroty jednak tworzą grupę nieprzemienną:
Przy obrotach kolejność wykonywania obrotów jest ważna. Dla obrotów na ogół AB ≠ BA.
Grupa obrotów jest trzy-parametrowa: każdy obrót o jakiś kąt wokół pewnej osi można otrzymać w wyniku złożenia trzech obrotów – wokół osi x, wokół osi y, wokół osi z, o odpowiednio dobrane kąty.
Matematcy rozwinęli teorię grup. Są zatem inne grupy. Niektóre z nich znajdują zastosowanie w fizyce – dotyczą w jakiś tam sposób naszego świata.
Mnie szczególnie interesuje grupa konforemna. Ta zawiera zarówno przesunięcia jak i obroty, zawiera też jednak inne operacje, trudniejsze do unaocznienia. Grupa konforemna ma 15 niezależnych parametrów. Mogę je nazwać:
1) przesunięcia w przestrzeni – 3 parametry
2) obroty w przestrzeni – 3 parametry
3) przesunięcia w czasie – 1 parametr
4) przejście do innego układu inercjalnego, poruszającego się z jednostajną prędkością v – 3 parametry
5) przejścia do układu nieinercjalnego poruszającego się ze stałym „cztero-przyśpieszeniem” a – 4 parametry
6) Zmiana skali – 1 parametr
Razem 3+3+1+3+4+1=15.
Podczas gdy przesunięcia i obroty w przestrzeni – 1),2) -są związane z geometrią trój-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, to przesunięcia w czasie i przejścia do innych układów inercjalnych – 3) i 4) – dotyczą geometrii czasoprzestrzeni. Tej od Minkowskiego i Einsteina.
Natomiast 5) i 6) wychodzą poza szczególną teorię względności. Einstein te operacje zaniedbał w swym wyprowazdzeniu podstaw szczególnej względności. Potem przeskoczył od razu do teorii względności ogólnej. Moim zdaniem niesłusznie.
Grupa konforemna może operować w czterowymiarowej czasoprzestrzeni – nie jest to jednak dla niej środowisko naturalne. Zacina się tutaj. By to jąkactwo usunąć trzeba do czasoprzestrzeni dodać „konforemną nieskończonośc”. Promień swiatła uciekający od nas w nieskończoność może wtedy do nas wrócić. Wysłany w przód oświetli nasze plecy! Tyle, że trzeba by na to długo czekać.
Grupa konforemna, gdy weźmiemy także pod uwagę spin, operuje jednak jeszcze naturalniej w przestrzeni ośmiowymiarowej. Sens fizyczny tej przestrzeni nie jest do końca rozgryziony. Z grubsza mówiąc te osiem wymiarów możana utożsamić z czterema wymiarami czasoprzestrzeni plus wymiar energii – 1, oraz trzy wymiaru pędu. Pęta się przy tym coś w rodzaju stałej Plancka. Pojawia się taka stała nie z rozważań promieniowania ciała doskonale czarnego, jak to historycznie było, a z czystej geometrii.
Dokładniej, grupa konformna operuje na „kuli” w ośmiowymiarowej przestrzeni. Zwykła kula, w naszej przestrzeni trójwymiarowej, ma „brzeg”. Tym brzegiem jest dwuwymiarowia powierzchnia sferyczna – jak powierzchnia piłki. Kula w przestrzeni osmiowymiarowej ma też swój brzeg – swoją sferyczną powierzchnię. Ta jest 7-wymiarowa. Na zwykłej sferze w 3-wymiarowej przestrzeni możemy narysować równik. Na sferze 7-wymiarowej, na której operuje grupa konforemna jest taki właśnie równik – nazywa się on „brzegiem Shilova” i jest czterowymiarowy – tak wychodzi z obliczeń. Ten brzeg Shilova to nasza czasoprzestrzeń, z dodaną konforemną nieskończonością. Jednak oprócz równika jest na powierzchni sfery jeszcze sporo miejsca. Ten obszar nie był dotąd poważnie przez żadnego fizyka matematycznego zbadany. Jaki może być sens fizyczny tej „reszty”. To trochę tak jak z DNA. Część DNA została zbadana, jest jednak spora część DNA, która być może do czegoś służy, ale na razie nazywamy to „śmieciem” - bo nie wiemy jakie jest jego przeznaczenie. Otóż ja zająłem się takim właśnie, leżącym dotąd odłogiem, śmieciem na brzegu siedmiowymiarowej kuli w ośmiowymiarowej przestrzeni.
Wybrałem jeden z punktów tego śmietniska i zadałem sobie pytanie które to operacje z grupy konformenej nie ruszają tego punktu. Wyliczyłem, że otrzymuję w ten sposób ośmioparemetrową podgrupę pietnasto-parametrowej grupy konformnej. Operacje infinitezimalne tej podgrupy tworzą coś, co matematycy nazywają algebrą Liego. Moja algebra Liego jest ośmiowymiarowa. Jest osiem infitezimalnych operacji. Nie wszystkie są przemienne. W tabelce wyliczyłem komutatory tych ośmiu „generatorów”. Komutator to [A,B]=AB-BA. Gdy [A,B]=0 – wtedy operacje A i B są przemienne. W mojej tabelce jest sporo zer. Ale są tam też operacje nieprzemienne:
I to jest jeden mały krok badacza wielowymiarowego geometrycznego śmiecia DNA.
Literatura:
