Jest taka książka-biblia dla tych, którzy interesują się grawitacją. To „Gravitation” trzech autorów: Misner, Thorne, Wheeler. Moja ma 1279 stron. Gdzie indziej wylicza się 1304 strona. Ciężka, solidna, przydaje się gdy trzeba na czymś stanąć. Na okładce widzimy jabłko i szkło powiększające:
Na jabłku narysowane są drogi – trochę jak te z pustyni Nazca, ale jednak to nie to samo. Te drogi mają przedstawiać linie geodezyjne na powierzchni jabłka. Mając dwa punkty na (zakrzywionej przecież) powierzchni jabłka łączymy je najkrótszą możliwą drogą przebiegającą cały czas po powierzchni. Zwykle taka droga jest tylko jedna, choć zdarzają się wyjątki – jak te dwie drogi na obrazku obiegające ogonek z dwóch różnych stron.
Tu pojawia się pewna subtelność. Bo z tych dwóch dróg obiegających ogonek z dwóch rożnych stron (na obrazku okolica ogonka została jakby nadgryziona już po położeniu linii, więc, tak jak jest, obrazek nie reprezentuje zbyt dobrze idei), jedna jest prawdopodobnie krótsza od tej drugiej. Więc która z nich jest geodezyjną? Odpowiedzią jest: obie są geodezyjne. Bowiem definiując linię geodezyjną opuściłem jedno małe a ważne słówko: geodezyjna jest lokalnie to najkrótsza. To znaczy każda jej „dostatecznie mała” deformacja jest dłuższa . Naciągając gumkę między dwoma punktami jabłka ułoży się ona wzdłuż geodezyjnej. Potrącając ją lekko – wraca do najkrótszego położenia. Jednak możemy czasem znaleźć drugie ułożenie lokalnie stabilne ze względu na odkształcenia.
Bycie geodezyjną jest więc własnością lokalnej krzywej. Napisałem „krzywej”, ale na powierzchni jabłka nie linii prostych w tym „zwykłym” sensie. Każda linia na powierzchni jabłka jest krzywa, bo sama powierzchnia jabłka jest krzywa.
Tu trzeba uważać. Powierzchnia cylindra jest też krzywa, a jednak wzdłuż powierzchni cylindra można ułożyć linie proste. Powierzchnia jabłka jest inaczej krzywa niż powierzchnia cylindra. Tymi subtelnościami zajmują się działy matematyki pod nazwą „geometria różniczkowa” , „geometria rozmaitości”, „geometria Riemanna”.
Linie geodezyjne na powierzchni, choć „krzywe” z punktu widzenia otaczającej przestrzeni, są jednak „najprostsze” ze wszystkich innych linii na powierzchni. Odgrywają więc rolę „prostych” w geometrii powierzchni.
Powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni możemy sobie wyobrażać (choć ze wstęgą Mobiusa i z butelka Kleina mogą być pewne subtelności i trudności, zależnie od tego jak głęboko chcemy wnikać w samą ideę powierzchni). Ale geometria obejmuje też przestrzenie o większej liczbie wymiarów. Matematyka nie ma z tym żadnych problemów. Nasza wyobraźnia wzrokowa ma. Może trochę dlatego matematyka jest nieodzowna w fizyce, bo Przyroda nie troszczy się specjalnie o nasze ludzkie możliwości wyobrażania sobie tego, co Przyroda jest w stanie stworzyć.
Od czasów , Riemanna, Clifforda, Gaussa, potem Einsteina – za „zakrzywioną” uważamy czterowymiarową czasoprzestrzeń. Powodem zakrzywienia, jak to wyjaśnia „Biblia” Wheelera i innych, jest obecność materii. Materia (a także energia) jest źródłem pola grawitacyjnego. Pole grawitacyjne przedstawiane jest zaś jako „geometria zakrzywiająca czasoprzestrzeń”. Jest to geometria trochę dziwna, a to dlatego, że pojawiają się w niej „stożki świetlne” separujące kierunki w czasoprzestrzeni na dwie różne klasy: kierunki czasopodobne i kierunki przestrzennopodobne”. Trochę to komplikuje sprawy i nie wszyscy matematycy chętnie się tym zajmują – zbyt dużo tu, jak to określają, „patologii”. Cóż, Przyroda patologii najwyraźniej się nie boi.
W tej dziwnej geometrii czasoprzestrzeni trajektoria swobodnie spadającego małego ciała „próbnego” (tzn. niewiele zaburzającego pole grawitacyjne) to linia geodezyjna. Wyrzucamy w górę kamień, patrzymy jak zatacza parabolę w powietrzu. Ewidentnie to krzywa. A jednak w geometrii czasoprzestrzeni to „prosta”, a ściślej – to linia geodezyjna. Najkrótsza z sąsiednich. Tyle, że tę jej „krótkość” mierzy dziwna trochę formuła w którą odstępy czasowe wchodzą z przeciwnym znakiem do odstępów przestrzennych.
Czasoprzestrzeń-czasoprzestrzenią, a mnie zawiodło do przestrzeni o pięciu a nie czterech wymiarach. I and tym ostatnio pracowałem – niejako na zamówienie. Spóźniłem się z terminem. Miałem dostarczyć moją pracę 1-go listopada. Skończyłem dopiero dziś. To znaczy wstępną wersję miałem wcześniej, ale tak naprawdę posłałem wersję w miarę ostateczną dopiero dziś. Dorabiałem mianowicie część o geodezyjnych. Jeszcze wczoraj wieczorem miałem z tym problemy. Moje geodezyjne rysowane po rozwiązaniu równań różniczkowych, raptem się ni z tego ni z owego kończyły. A przecież wiedziałem, że kończyć się nie powinny. W nocy wykombinowałem w czym problem, zmieniłem parametr na geodezyjnej, wyszło jak należy. Więc dorobiłem rysunki i posłałem pracę do publikacji.
A oto te trzy obrazki, na nich trzy różne rodziny geodezyjnych wybiegających ze wspólnego punktu na każdym obrazku z osobna. Na obrazku widać grecką literkę „lambda” - to ten piąty wymiar. W tej akurat pracy interpretowany jest mający fizyczny wymiar „działania” - ten sam co stała Plancka.
Samą poszerzoną pracę (ma teraz 14 stron) wyłożyłem (póki co) tutaj.
Zanim wrócę na dobre do mojego blogu minie jeszcze parę dni. Wybieram się bowiem w kilkudniową podróż „w interesach”. Po powrocie, jak dobrze pójdzie, o tym co to za interesy opowiem.
P.S. Pięć minut po opublikowaniu notki przyszła recenzja mojej pierwszej wersji pracy. Ponieważ co niektórzy Czytelnicy mogą byc ciekawi jak taka recenzja wygląda - oto ona:
Referee Report ofSTART in a fivedimensional conformal domain,by Arkadiusz Jadczyk
The paper delves into the pseudo-Riemannian geometry of the five-dimensional homogeneous space for the conformal group, and some possible ramifications. It evinces an analysis as well as a crystal clear exposition regarding the compactified Minkowski space. Furthermore, such space-time is analyzed as as a boundary. In the equations, all I have checked myself, no error was found, and the results, in particular the most significant ones, are essentially correct. Moreover, I personally think they are in addition very interesting. The paper reveals prominent properties underlying the conformal structure, besides a historical overview. Hence, obviously relevant for the outstanding high level quality of AACA special volume. The quality of the paper is very good and so I clearly recommend it for publication in AACA, with minor suggestions/corrections.
In the following, I point out minor corrections that I kindly ask the author to address:
1. The author have a good style of writing. I kindly suggest that in order to the better understanding of the text, as the sentence at the Abstract
Its topology is described and its relation to the conformally compactified Minkowski space is describedrepeats the verbdescribetwice, it should be better to substitute it by some synonym.
2. Page 1, Introduction, line 4: the Dirac algebra discussed is C⊗ Cl1,3 instead of the one with a signature (1,2), as in the text.
3. Page 2, three lines before the Subsection 2.1; fourth line of Subsection 2.1 and what follows: the Author adopts the convention to denote, for instance:3 dimensional[3 lines before Subsection 2.1],five-dimensional[second line of Subsection 2.1] andfive dimensional[fourth line of Subsection 2.1]. I suggest throughout the paper that the Author uses an unified notation for such expressions.
4. Page 4, first line: I think that there are two parentheses that do not close.
5. Page 5, two lines after (14):conformally flat, a manifoldmust be substituted byconformally flat, manifold.
As it is clear, the suggestions that should be addressed could improve the paper in this respect:once this is accomplished the paper will be ready to be published without any need for me to revise it again.
