Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
6785
BLOG

Achilles, żółw i liczby

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 269

 

Jak to jest z tymi liczbami? Posługujemy się nimi na co-dzień. 1,2,3..., ¾, e, pi, tau, omega,... Liczby bywają rożnej maści, jedne wyglądają na potulne, obłaskawione, inne nas onieśmielają, czasem przerażają. Liczbami zajmują się zawodowo matematycy – jedni przyjmują je jak leci, z podręczników, i je po prostu stosują, inni je badają, jeszcze inni „anarchizują” wykazując jak niepewne podstawy ma niezachwiana wiara w „jedną, jedynie prawdziwą religię liczb”. Genialny Hindus, matematyk-samouk, Ramanujan, jak go nazywają „Człowiek, który poznał nieskończoność”, twierdził, że o tajemniczych własnościach liczb dowiadywał się od „Bogini”, która mu je podpowiadała. Często nie potrafił wykrywanych przez siebie własności udowodnić – robili i nadal robią to potem inni – dlatego uważa się go za geniusza. Mówi się o nim, że miał genialną Intuicję – to zawsze bardziej świecko brzmi niż „Bogini”. Przykład z Dziennika Ramanujana:
 
Załóżmy, że |q| jest mniejsze od 1 i niechaj
 
Ramanujan formula 1
 
Wtedy:
 
Ramanujan formula 2
 
Występują tu „Nieskończone ułamki łańcuchowe”. Nie darmo się mówi o Ramanujanie, że był za pan brat z nieskończonością. On ją po prostu miał we krwi, czuł, używał jej. Ale nie z każdym było i jest podobnie.
 
Zacznę od tzw. paradoksu przypisywanego Zenonowi z Elei:
 
 
Zenon z Elei(gr. Ζήνων ὁ Ἐλεάτης Zenon ho Eleates; ok. 490 p.n.e. - ok. 430 p.n.e.), filozof grecki.
 
Zenon z EleiBył uczniem Parmenidesa i należał do szkoły eleatów z Elei. Doskonalił sztukę prowadzenia sporów, którą rozumiał jako wykazywanie na drodze samego zestawiania pojęć prawdy własnej i cudzego fałszu, co w ówczesnych pojęciach było dialektyką i co pozwoliło później Arystotelesowi uznać go za jej twórcę.
 
Jego dzieło O przyrodzie, napisane schematyczną prozą w formie pytań i odpowiedzi, stało się wzorem dla formy dialogowej. Sam był wytrawnym polemistą. Znany również ze swoich paradoksów lub dowodów na niemożność istnienia wielości rzeczy i ruchu. Cztery jego dowody o niemożności ruchu znane są pod nazwami: dychotomii, Achillesa, strzały i stadionu.
 
 
Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej  w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.
 
WITOLD SADOWSKI
Wiedza i Życie nr 7/1997
 
PARADOKSY SĄ W DUŻEJ MIERZE ODPOWIEDZIALNE... ZA POSTĘP NAUKI. GDY UCZENI TRAFIĄ NA ZJAWISKO PARADOKSALNE, NA OGÓŁ NIE SPOCZNĄ, DOPÓKI NIE POJMĄ JEGO ISTOTY. NADER CZĘSTO BYWA TAK, ŻE DZIĘKI TEMU POWSTAJE NOWA TEORIA.
 
Achilles i zolw Podany przez Zenona z Elei paradoks Achillesa i żółwia przedstawia się zazwyczaj tak: oto Achilles ściga się z żółwiem, a będąc pewnym zwycięstwa daje mu fory: zwierzę drepcze już daleko w przodzie, gdy achajski biegacz zaczyna wyścig. Następnie Achilles dobiega do miejsca, w którym niedawno był żółw, ale w tym czasie zwierzak dochodzi już do następnego miejsca, które znów osiąga w końcu Achilles, ale żółw dochodzi w tym czasie do nowego, Achilles znowu dobiega, ale żółw itd., itd., itd...
 
Nie tak dawno skończyłem lekturę nowelki matematycznej p.t. „A certain ambiguity” (Pewna niejednoznaczność). Bohaterem jest tam Hindus, matematyk, którego ojciec znał Ramanujana. Ojciec wyraża życzenie by i syn został matematykiem. Ojciec umiera zostawiając spadek wystarczający by syna posłać na studia na Uniwersytet Stanford w Kalifornii. Nasz bohater trafia na wykład „Myśląc o nieskończoności”. Wykładowca, matematyk z zawodu a z zamiłowania saksofonista jazzowy, wprowadza słuchaczy w tajemnice nieskończoności. Na jednym z pierwszych wykładów przedstawia studentom paradoks pod rozwagę Zenona z Elei. Przedstawia go w takiej mniej więcej wersji:
 
Chodziarz ma do pokonania jeden kilometr. Jeden kilometr pokonuje w cztery minuty. Ale:
 
Najpierw musi pokonać pół kilometra. Zajmuje mu to dwie minuty. Potem musi pokonać połowę pozostałej odległości. Zajmuje mu to jedną minutę. Potem połowę połowy – zajmuje mu to pół minuty itd. Jaki jest więc sumaryczny czas?
 
2 + 1 + ½ + ¼ + 1/8 +1/16 + ....
 
Ile to jest? Studenci zastanawiają się. Ktoś wyraża wątpliwość co do realności takiego postawienia sprawy. Przecież biegacz sam ma pewne rozmiary, nie zmieści się więc w dostatecznie małym przedziale. Wykładowca prosi więc o zredukowanie wymiarów biegacza do punktu. Idą w ruch kalkulatory, pierwsze dziesięć wyrazów sumuje się do 3.996 – pada więc hipoteza, że wynikiem będzie liczba 4. No, jest hipoteza, ale gdzie dowód? Z propozycją dowodu podnosi się niezwykle bystra studentka imieniem Clair. Bez słowa pisze na tablicy:
 
Certan ambiguity, Suri
 
Wykładowca naszą bystrą studentkę chwali, ale jednocześnie zaznacza, że ten dowód przemyca pewne ukryte założenia o niekończonych ciągach, co do których powinno się mieć wątpliwości póki nie zostaną udowodnione.
 
W dalszym ciągu książki przewijają się różne aspekty nieskończoności, przewija się pytanie o to w jakim stopniu na matematyce można polegać?
 
No właśnie: na ile pewna jest nasza matematyka? Ta oparta jest na aksjomatach, pewnikach, o mniejszym lub większym stopniu złożoności, ale bodaj na samym początku pojawia się pojęcie liczby, w szczególności pojęcie  liczby naturalnej. Bowiem to przy liczbach naturalnych pojawia się problem nieskończoności. Jaki rodzaj nieskończoności jest jeszcze akceptowalny a jaki jest dyskusyjny? Tu matematycy zajmujący się podstawami matematyki różnią się i to czasem mocno. Najbardziej radykalni są „ultrafinityści”. Ci negują wręcz istnienie nieskończonego zbioru liczb naturalnych  N. Weźmy taką liczbę, mówią, jak
 
Ultrafinite
 
Jeśli jest to liczba rzeczywista, to nikt nie wie jaka jest część całkowita tej liczby i pewnie, ze względu na prawa fizyki, nikt zapewne nie będzie nigdy w stanie tego powiedzieć.
 
Jednym z moich ulubionych matematyków jest Edward Nelson z Princeton. Otóż Nelson atakuje otwarcie samą definicję liczby naturalnej. Normalnie definicja liczby naturalnej startuje od liczby 0, a dalej przez iteracje operacji brania następnika. Ale samo pojęcie „iteracji” zakłada, że wiemy co to są liczby naturalne! Nelson proponuje więc alternatywną arytmetykę, arytmetykę predykatową. Ale mało kto bierze propozycję Nelsona poważnie. Przynajmniej dzisiaj.
 
Jak to więc jest z tą nieskończonością? Wiemy, że Achilles dogoni przegoni żółwia. Ale nie wyjaśnia to sprawy czy lepszym modelem rzeczywistości jest model ciągły czy dyskretny? Model skończony czy model niekończony? Czy czas i przestrzeń są nieskończenie podzielne, czy też gdzieś tam, u podstaw, są niepodzielne  monady? A nawet jeśli dopuścimy nieskończoną podzielność, to jakie własności tej podzielności należy przypisać? Model liczb rzeczywistych to tylko jeden z modeli. Są inne, jest tzw. analiza niestandardowa. Podobnie jak mamy geometrię Euklidesa i geometrię Riemanna. Jedni stawiają tu na jednego konia, inni próbuja ryzykować i stawiać na fuksa. Wyścig trwa. Stawka jest spora.
 
P.S. Dziękuję Stanowi S. za sugestię tematu.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie