Od niedawna szczególnie zainteresowałem się magnetyzmem. Jakoś mnie do niego ciągnie. Nie wiem co mnie do niego ciągnie ale, przyznam się, ciągnie mnie od dziecka. Dopiero jednak od całkiem niedawna leży wokół moich papierzysk kolekcja magnesów neodymowych, a także alnico, i się nimi bawię. Dobrze jest bowiem porównać teorię z doświadczeniem. W trakcie tych zabaw stwierdziłem, że i z teorią jestem do tyłu, że nie znam nawet tego, co uczeń w gimnazjum powinien znać. Odrabiam więc niniejszym zaległości.
Jednym z najprostszych bodaj zagadnień w magnetostatyce jest wyliczenie pola magnetycznego prostej pętli z prądem. Wyliczano to już niemal od czasów Maxwella, więc nic w tych wyliczeniach nowego. Jednak problem nie jest bynajmniej aż tak łatwy.
Punktem wyjścia jest prawo Biota-Savarta. Można je znaleźć i w naszej Wikipedii
Trzeba to teraz zapisać w postaci jawnej i wycałkować po pętli. Można stąd znaleźć składowe pola magnetycznego towarzyszącego w kółko po pętli prądowi. Rysuje się wynik tak:
Gdy się chce jednak rzecz wyliczyć od a do z, wtedy okazuje się, że nie takie to całkiem trywialne. Przypuśćmy, że pętla z prądem, pętla o promieniu równym jedności, leży w płaszczyźnie xy, tzn. z=0. Ze względu na symetrię zagadnienia wystarczy wyliczyć pole magnetyczne w płaszczyźnie xz, tzn. dla y=0. Wyliczanie wymaga użycia funkcji specjalnych, funkcji eliptycznych EllipticE oraz EllipticK. Wynik jest taki, że w tej płaszczyźnie pole magnetyczne ma składową Bx i składową Bz. To znaczy jest skierowane ku osi symetrii oraz w górę lub w dół, zależnie od tego czy jesteśmy pod pętlą czy nad pętlą, i zależnie od tego w którą stronę płynie prąd.
Oto formuły na składowe Bx i Bz pola magnetycznego (pomijam tu stałe fizyczne, nie chodzi mi bowiem tym razem o wyliczenia ilościowe):
Bx(x,z)=
Bz(x,z)=
Teraz możemy już graficznie przedstawić linie pola magnetycznego oraz jego natężenie:
Czym cieplejszy kolor, tym większe natężenie pola magnetycznego. Widać z obrazka, że największe natężenia jest przy samy przewodzie. Obracając w myśli wokół osi pionowej otrzymamy obraz przestrzenny – to dobre ćwiczenie dla wyobraźni przestrzennej.
Robiąc zbliżenie wokół jednego kawałka pętli otrzymujemy taki obrazek
Ten przypomina linie sił pola magnetycznego wokół prostego a długiego przewodnika.
Sprawdziłem robiąc pętlę z drutu, zbliżając do kompasu i zwierając pętlę z baterią. Faktycznie igła się „zachowuje”.
Na koniec te funkcje eliptyczne lub „całki eliptyczne”. Są to porządne funkcje:
Wykres eliptycznej E jest czerwony, wykres eliptycznej K jest niebieski.
Uwaga: W obiegu są dwie różne definicje funkcji eliptycznych E i K. Te definicje z całkami i wykresy powyżej to jedna definicja. Jednak w formułach na Bx i na By używana jest inna definicja, mianowicie z m zastąpionym przez m w kwadracie pod całkami. Innymi słowy EllipticE[m] = E[m^2] i tak samo dla K. Jest to fatalne i może prowadzić do nieporozumień. Dla przyładu program Maple definiuje swoje EllipticE(m) jako E(m), ale program Mathematica jako E(m^2). Innych programów symboliczno-numerycznych nie sprawdzałem.
