Na podstawie komentarzy do moich notek widzę, że wielu czytelników ma opory w stosunku do przestrzeni o większej liczbie wymiarów niż trzy. No, cztery to jeszcze ujdą, bo Minkowski i Einstein to każdemu obili się o uszy – cztery to jeszcze do zniesienia. Przestrzeń+czas. Ale pięć, sześć, dwanaście? To nie do przyjęcia. To wymysł chorych głów matematyków i nie lepszych od nich fizyków. W głowach im się przewraca!
Jest i drugie ciekawe podejście. Według ogólnej teorii względności Einsteina materia jest źródłem pola grawitacyjnego, a to zakrzywia przestrzeń i nawet czas. Zakrzywia? Ale w czym zakrzywia? W niczym? To niemożliwe. Zakrzywienie musi być w czymś. Więc muszą być jakieś wymiary, jakiś ośrodek. Fizycy nie chcą o tym mówić, ale dysydenci o tym śmiało mówią i wytykają matematykom i fizykom brak logiki. Z takimi opiniami też się spotkałem.
Nadszedł czas by na to jakoś zareagować, wyjaśnić sprawę, bo sprawa prosi się o wyjaśnienie. Skąd się biorą te opory w myśleniu – zastanawiam się. Ano biorą się stąd, że mamy dobrze rozwiniętą wyobraźnię wzrokową. Jak to się mówi: obraz jest wart tysiąca słów. Obrazy do nas przemawiają, dostarczają emocji, przywołują inne obrazy. Śnimy obrazami raczej niż słowami czy pojęciami. Łatwiej się ogląda filmy niż czyta książki. Co nie da się narysować, namalować – to uważamy za abstrakcyjne – czegoś tu brakuje, tak myślimy.
Ale jest to nasze, ludzkie myślenie. Czy Przyroda sama tak sobie ceni obrazy? Czy podstawowe prawa Przyrody, te które badają fizycy, czy muszą mieć charakter łatwy do przedstawienia na ilustracji? Praca fizyka podobna jest, pod wielu względami, do pracy programisty. Programista siedzi nad kodem. Myśli pojęciami języka programowania. Oczywiście, ma w głowie pewien obraz funkcji i procedur, ich wzajemnych zależności i powiązań, ale narysować pogram komputerowy na ładnym obrazku jest raczej trudno. Wynikiem pracy programisty jest oddany do użytku program. Dorabia się zwykle (choć nie zawsze) do tego programu interfejs graficzny i to jest to, co użytkownik widzi. Mało się to ma do wewnętrznej struktury programu, do jego stopnia złożoności, natury jego działania.
Podobnie jest z fizykiem, zwłaszcza teoretykiem. Fizyk to taki programista. Pracuje też nad kodem. Rozgryza kod przyrody, proponuje mini-kody ten wielki kod imitujące. Język programowania u fizyka jest dość specyficzny – to przede wszystkim język matematyki. I to nie jakiś szkolny Basic czy Logo, ale wyspecjalizowane do rożnych zadań języki o wysokim stopniu abstrakcji. Gdy fizyk jakoś ukończy pracę nad rozwiązaniem danego problemu, wtedy swe wyniki chce przedstawić tym którzy tę jego pracę sponsorują, opłacają. Wtedy zaczyna myśleć o opakowaniu wyniku swej pracy, tak by dało się ją sprzedać. Publiczność łaknie sensacji, do publiczności przemawiają przede wszystkim obrazki. Zatrudnia się więc grafików, retuszerów, specjalistów od mediów i ci prezentują publiczności piękne obrazki odległych planet, czarnych dziur, zakrzywienia czasu i przestrzeni, wnętrza jądra atomowego, przekroju skorupy ziemskiej i czego to Jeszcze nie?! Obrazki podniecają publiczność, podniecają polityków i filantropów i instytucje otrzymują granty. Kto nie da obrazków, ten może liczyć co najwyżej na grant od wojska – bo wojsku wystarczą suche liczby: siła rażenia, stopień wykrywalności, koszt, czas, przewidywane straty własne i przeciwnika. Wojsko obrazków nawet nie lubi, bo na obrazek, nie daj Boże, mogłaby się zakraść kropla ludzkiej krwi i cierpiąca ludzka twarz. Zostawmy jednak wojsko w spokoju, bo nie o tym przecież chcę pisać.
Chcę jakoś wyjaśnić na czym polega praca nad kodem Przyrody i jak to się ma do wymiarów i do krzywizn.
Każdy zapewne wie co to jest zbiór. Zbiór zapałek w pudełku. Zbiór ludzi w pomieszczeniu. Zbiór punktów na okręgu, na prostej, zbiór liczb rzeczywistych, zbiór liczb całkowitych. Jedne z tych zbiorów są bardziej konkretne niż inne, ale mamy o zbiorach jakie takie pojęcie. Zbiór, w ogólności, określony jest przez własności jakie mają jego elementy. Zbiór, sam w sobie, nie ma długości, szerokości, wymiarów. Co najwyżej ma liczebność, ale tę zostawmy na boku, bo nie-matematyk zna jedynie liczebności 1,2,3,4, .... i nieskończoność. (Matematyk wie, że nieskończoność nieskończoności nierówna i że jest nieskończenie wiele rożnych nieskończoności.)
Zbiór, jako taki, ma zbyt ubogą strukturę, by mógł być modelem jakiegoś fragmentu przyrody. Matematycy stworzyli więc pojęcie przestrzeni topologicznej. Przestrzeń topologiczna to zbiór obdarzony topologią.
Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej.
Topologia, to dział matematyki, topologia to także dodatkowa struktura w którą można wyposażyć zbiór. Krótko mówiąc:
Topologią w zbiorze X nazywamy rodzinę T podzbiorów tego zbioru o następujących własnościach:
Zbiór pusty i samo X należą do T. Dowolna suma i skończony przekrój zbiorów z T należy także do T.
Definicja prosta a jakże bogata! Mając zbiór wyposażony w topologię można już rozważać zbieżność, otoczenia, ciągłość, nieciągłość, brzegi, granice i wiele wiele innych interesujących własności zbiorów i map pomiędzy zbiorami.
Mając w jakimś zbiorze topologię, już, przy dobrej pogodzie, można mówić o tym ile wymiarów ma dany zbiór. Topologia jest jednak wciąż zbyt słabą strukturą by móc wymodelować ciekawe zjawiska fizyczne posługując się jedynie zbiorami wyposażonymi w topologię.
Wprowadza się zatem dodatkową strukturę: metrykę (ale jeszcze nie tą od Riemanna). Przestrzeń metryczna to zbiór z „odległością” pomiędzy punktami tego zbioru d(x,y). Własności funkcji d są łatwe do wyliczenia:
d(x,y) jest zawsze liczbą nieujemną
d(x,y)=0 wtedy i tylko wtedy gdy x=y
d(d,y)=d(y,x)
d(x,y)+d(y,z) jest większe lub równe d(x,z) – nierówność trójkąta
Zbiór wyposażony w metrykę staje się automatycznie przestrzenią topologiczną – nie będę tego tu omawiał jak to się robi.
Dla modelowania Przyrody jednak i ta struktura nie wystarcza. Wprowadza się więc pojęcie rozmaitości. Skoncentruję się tutaj na tzw. rozmaitościach różniczkowych, inaczej: gładkich.
Zaczęło się to nieszczęście od Kartezjusza. Ten, miast rysować, jak Pan Bóg przykazał, punkty na płaszczyźnie, zamienił je symbolami. Miast mówić: patrzę oto punkt i wskazać punkt palcem, powiedział: weźmy punkt (x,y). Lub: weźmy punkt (x,y,z). I nauczył nas jak zajmować się geometrią bez obrazków, operując jedynie na współrzędnych. I tak się zaczęło.
Skończyło się na pojęciu rozmaitości. Rozmaitość to zbiór, który można wyposażać we współrzędne. Ile tych współrzędnych? Ano tyle ile trzeba do wymodelowania danego zjawiska. Zatem rozmaitość 10-wymiarowa, to zbiór dla którego trzeba dziesięć współrzędnych (x1,x2,...,x10) by przedstawić jego punkty. I, podobnie jak to było u Kartezjusza, można rozwinąć geometrię posługując się jedynie współrzędnymi. Rysowanie jest zbędne.
W fizyce rozmaitości są wszędzie, o różnych wymiarach. Znamy przestrzeń – trzy wymiary, trzy współrzędne. Ale fizyk zna także przestrzeń fazową (x,y,z,px,py,pz) - trzy składowe, to położenia, trzy inne – to pędy. Razem sześć wymiarów. W mechanice kwantowej pojawia się „przestrzeń stanów”, np. elektronu. Tu potrzeba nieskończenie wielu wymiarów. Żaden fizyk nie ma z tym problemu. Narysować – trudne. Wyrachować co trzeba – można.
W rozmaitości, powiedzmy dziesięcio wymiarowej, można wprowadzić tensor metryczny g. Będzie to tabelka 10x10 w klatkach której będą stały funkcje od (x1,x2,...,x10). Prowadzi to do geometrii Riemanna. Można rachować krzywiznę – wyrażającą się ( w dość skomplikowany sposób) przez g – nic nie trzeba sobie przy tym rysować, wystarczy umieć rachować. Nie trzeba naszej 10-cio wymiarowej rozmaitości w niczym więcej wymiarowym zanurzać, choć, jeśli kto chce – wolna wola!
Jaki jest sens fizyczny tych wymiarów – to już inne pytanie. Nasze zmysły są takie jakie są, widzą to co widzą, pojawia się problem jak z tych dziesięciu wymiarów wydobyć to, co postrzegamy. Jest to częścią problemów, którymi zajmują się fizycy rozgryzający kod Przyrody.
Geometria zadana przez kwadratowe tabelki, geometria Riemanna, to podstawa ogólnej teorii względności. Ostatnio jednak pisałem o geometrii Finslera. W geometrii Finslera wychodzimy poza kwadratowe tabelki. Czemu akurat kwadratowe? Tak pytają finslerowcy. I w samej rzeczy już Riemann, gdy pisał o podstawach geometrii, rozważał geometrie bardziej skomplikowane, wychodzące poza znane nam kwadratowe prawo Pitagorasa. Sam Riemann, a za nim Einstein i cała reszta skoncentrowali się na tabelkach kwadratowych. Prawda, że upraszczają one życie. Ale czy nasze pojęcia o prostocie nie są zbyt naiwne? Chłopcy Finslerowcy poszli dalej. Pójść dalej na całego – to strach, skoncentrowali się więc przede wszystkim na pierwszym kroku w nieznane: miast tabelek kwadratowych 2x2 rozważają tabelki 4x4x4x4. Są to tzw. geometrie Berwalda-Moore'a .
Chłopcy Finslerowcy dostali spory grant, wybudowali instytut, organizują konferencje, uczą studentów. Chłopcy Finslerowcy są uczciwi – wyjaśniają swoim studentom, już na samym początku, że wybierając zajmowanie się geometrią Finslera ryzykują niemal życiem. Tzw. szanujące się czasopisma nie będą publikować ich prac, nie znajdą zatrudnienia, narażą się na prześmiewki „poważnych uczonych”. Chłopcy Finslerowcy są jednak pełni zapału. Wierzą, że przyszłość do nich należy, że są nieprzeciętni, że w końcu to właśnie geometria Finslera, jej uznanie i zastosowanie doprowadzi do tego, że odległości w Kosmosie przestaną grać role, że staniemy się bardziej wolni, bowiem lepiej poznamy ten prawdziwy kod Przyrody,
Chłopcy Finslerowcy są różni, jedni nie sądzą by trzeba było więcej wymiarów niż trzy, no, może cztery – bo ich geometria wyjaśni wszystko i bez dodatkowych wymiarów. Inni natomiast bez żachnięć rozważają trój-wymiarowy czas, śmiało wybiegają myślą w przyszłość, ich myśl swobodna nie zna żadnych ograniczeń.
Czego i każdemu z Was od serca życzę.
I na koniec: moja osobista przestrzeń jest wielowymiarowa. W wielu wymiarach sporo jest miejsca ale i sporo sprzątania. Zatrudniliśmy więc niedawno sprzątaczkę, młodą panią, poszukiwała pracy. Przychodzi do nas i pomaga nam jakoś pracować, bo posprzatać ponad tysiąc wymiarów to praca spora. Jakoś nas polubiła i dziś, gdy przyszła z rana, przyniosła nam świąteczny bukiet.
Bukiet jest śliczny i się nim z Wami dzielę
Wesołych Świąt!
