Jak to mówią: „Stara miłość nie rdzewieje.” Ja od zarania dziejów kochałem się w falach. Falach morskich, tych powstających w wyniku rzucania kamieni do stawu, falach radiowych i falach dźwiękowych. Z tym, że raczej wolałem te rozlewiste a do fal uderzeniowych jakoś mnie nie ciągnęło. Od czasów szkoły miałem też dobrego kolegę, który także kochał się w falach. Zachowała się z tego czasu fotka:
Ja gram na trąbce, mój kolega bębni na krześle. Na fotce widać też, że już wtedy interesowałem się światłem – tym czarnym i tym białym.
Podczas gdy mój kolega patrzał na świat ze zdrowej, normalnej pozycji, ja, od czasu do czasu stawałem na głowie i widziałem wszystko na opak:
I tak jest do dzisiaj. Po tym wstępie mogę przystąpić do obiecanej prezentacji wybranych przeze mnie obrazków z prezentacji Prof. Bernarda Jancewicza, który w piątek, piątego listopada wygłosił na seminarium ogólnym Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Wrocławskiego wykład p.t. „Jak przedstawiać pseudowektory?” A że pseudowektory i wielowektory związane są ściśle z falami – tego tłumaczyć chyba nie muszę. Bo pole elektromagnetyczne to pole wielowektorów (a raczej wieloform, ale ten temat możemy póki co zostawić na boku).
Zaczyna się to od cytatu z Macha. Podając za Wikipedią:
Ernst Mach (ur. 18 lutego 1838, zm. 19 lutego 1916) - fizyk i filozof austriacki. Wykładał (1864-67) matematykę w Grazu i później, aż do emerytury w 1901 roku, był profesorem fizyki w Pradze i Wiedniu. W swych pracach zajmował się zjawiskami z zakresu mechaniki (zasada Macha), aerodynamiki, optyki i termodynamiki. Od jego nazwiska nazwano liczbę Macha (skrót Ma) i złudzenie optyczne - pasmo Macha. Mach jako filozof jest zaliczany do empiriokrytycyzmu, zwanego też "drugim pozytywizmem". Domagał się usunięcia z nauki pojęć "metafizycznych", takich jak "atom", "siła" i "przyczyna", a także pojęć religijnych. Jego zdaniem prawa nauki są jedynie ekonomicznym opisem faktów. Podstawową regułą nauki powinna być "zasada ekonomii myślenia": najbardziej skrótowy opis zjawisk pozwala zaoszczędzić wysiłek wkładany w przedstawianiu faktów. Opis winien ograniczać się do odpowiadających wrażeniom "elementów" i ich trwalszych zespołów - "ciał". Ten punkt widzenia kwestionował tradycyjne wymaganie stawiane nauce, aby dostarczała absolutnej wiedzy, i wpłynął istotnie na rozwój logicznego pozytywizmu.
Można się z Machem zgadzać lub nie zgadzać, można się zgadzać częściowo a częściowo być zdecydowanie przeciw. Einstein był początkowo pod wpływem Macha, potem jakoś mu miłość do Macha zwiotczała. Nie o to jednak idzie, Cytat z Macha ma pokazywać jak to Mach nie mógł się nadziwić zachowaniu magnesów:
A zachowanie magnesów jest w istocie dziwne. Czytelnik władający (biernie) językiem angielskim z lubością wysłucha odpowiedzi Richarda Feynmana, gdy ten został zapytany „Dlaczego magnesy się przyciągają lub odpychają”.
Miast od razu spróbować odpowiedzieć na zadane mu pytanie wdaje się Feynman w tyradę na tema pytań typu „Dlaczego?”. No bo jak wytłumaczyć „dlaczego” komuś, kto chce rzeczy zrozumieć na chłopski rozum, bez matematyki, bez wielowektorów i bez form? Po dość długich dywagacjach na temat jak trudno opdowiedzieć na ptanie dlaczego ktoś pośliznął się na lodzie i złamał biodro, dochodzi wreszcie Feynman do sedna rzeczy i stwierdzenia, że „dlatego, że właśnie taka przyroda jest.” Mamy elektryczność, mamy magnetyzm, coś tam o nich rozumiemy, ale nie wszystko i nie do końca. Na przykład związek elektromagnetyzmu z grawitacją jest nadal zagadką. Tyle Feynman. Wracając zaś do zdziwienia Macha, zjawisko, które go tak zdumiewało na obrazku da się tak zilustrować:
A co to ma wspólnego z wielowektorami? A to, że pole magnetyczne - a ściślej jego natężenie - jest wektorem osiowym a nie biegunowym.
Co to znaczy? Postaram się w miarę przystępnie wyjaśnić opierając się na tym o czym już pisałem poprzednio – elementach algebry wielowektorów, algebry geometrycznej przestrzeni, algebry Clifforda Cl(3,0).
Jako że „Repetitio est mater studiorum” - Powtarzanie jest matką nauki (uczenia się) – przypomnę krótko to najważniejsze. Popatrzmy zatem raz jeszcze na notkę „Diabelska inicjacja”. Algebra geometryczna to przestrzeń ośmiowymiarowa. Mamy tam skalary-liczby (1 wymiar), mamy wektory (3 wymiary), mamy dwuwektory (3 wymiary), mamy też trójwektory - pseudoskalary (1 wymiar). Pseudoskalar bazowy, oznaczam go literką I to iloczyn trzech wektorów bazowych e1,e2,e3:
I = e1e2e3:
Jego kwadrat jest równy -1. Jest on przemienny ze wszystkimi elementami algebry naszej algebry.
Uwaga: Własność ta wynika z faktu, że nasza tnójwymiarowa przestrzeń euklidesowa ma nieparzystą liczbę wymiarów. Gdyby ta przestrzeń była parzystowymiarowa, wtedy pseudoskalar byłby antyprzemienny z wektorami.
Dzięki istnieniu I możemy przedstawiać dwuwektory jako wektory. Tak na przykład dwuwektor a∧b przedstawiamy wektorema×b= -Ia∧b- iloczynem wektorowym. Przedstawianie takie jest wygodne, ma jednak swoją cenę – tą ceną jest zachowanie się przedstawiającego dwuwektor wektora przy odbiciach. Jest to sprawa dość subtelna, poświęcę więc jej trochę miejsca, bo dobrze jest raz zrozumieć o co idzie, potem można już tylko pamiętać, że kiedyś, raz, się rzecz zrozumiało.
Zatem wektor reprezentujący dwuwektor, w porównaniu ze zwykłym wektorem, dodatkowo zmienia zwrot przy odbiciach! Takie wektory nazywają się osiowymi. Wektory zwykłe to wektory biegunowe.
Jak je malować?
Czemu nie tak:
lub tak:
Wtedy zachowanie się względem odbić przedstawimy tak:
Lub jeszcze inny obrazek do kontemplacji:
I na tym zakończę przedstawianie piętnastu minut z wykładu prof. Jancewicza. Dalej idą bowiem rzeczy trudniejsze, takie jak działania na pseudowektorach itd. By jednak zakończyć jakoś ciekawiej powróćmy do początku czyli do dylematu Macha:
A tu się można pobawić animacją:
