Dialektyka formalna

Napisał był w swoim komentarzu tichy:

„Jak zwykle, Ark próbuje wyjaśnić za bardzo, i nie tylko dojść, ale też wszystkim powiedzieć (by wiedzieli), czym naprawdę sa te formy. A mógłby powiedzieć - no, mamy toto, nazywamy je formą różniczkową (czy jakąś inną) - i cześć.

Ale nie.”

No właśnie. Mamy problem. Mógłbym napisać tak, a piszę inaczej. Znowu mamy dualność. Może być tak a może być inaczej. Z walki przeciwieństw rodzi się postęp. W Wikipedii pod hasłem Heraklit znajdujemy:

„Najbardziej znanym elementem filozofii Heraklita jest koncepcja zmiany jako centralnego elementu świata (pantha rei, wszystko płynie), jak Heraklit określił to w słynnym zdaniu "nie można dwa razy wejść do tej samej rzeki, za każdym razem bowiem inna woda w niej płynie". Wierzył w jedność przeciwieństw, twierdząc, że "droga w górę i droga w dół jest jedna i ta sama". Istniejącym rzeczom można jego zdaniem przypisać pary przeciwnych właściwości: ciepło, zimno, jasność, ciemność. Jego kolejna koncepcja, Logosu (gr. "słowo", "rozum", "zasada") jako zasady, poprzez którą wszystkie rzeczy istnieją, była poddawana licznym interpretacjom. Filozofia Heraklita zapoczątkowała wiele wątków w filozofii zachodniej: wariabilizm Heraklita znajdzie swoje odbicie u Platona, relatywizm i humanizm – u sofistów (Protagoras), idea ognia i logosu - u stoików. Uznaje się go też za prekursora heglowskiej dialektyki z uwagi na swoją teorię wyłaniania się i syntezy przeciwieństw.„

Od Heraklita doszliśmy do Hegla.

„Historia ludzkości jest historią triumfu wolności, z powodu wzajemnej zależności ludzi. Stan pierwotny – niewolnictwo – generuje potrzebę wolności, dzięki której zostaje obalone. Historia toczy się przechodząc z jednego stanu – tezy – w jego przeciwieństwo, czyli antytezę. W rezultacie wyłania się synteza, która staje się sama tezą. Ten proces jest jednak rozumny.

Forma obiektywna albo zbiorowa jest ucieleśnieniem ducha w życiu społecznym. Tu należą wszystkie instytucje społeczne, sposoby normowania i wyrażania wspólnego życia, jednym słowem wszystko czym się zajmuje socjologia. Istota obiektywnego ducha rozwija się przez legalność, moralność i obyczajność. Legalność jest poprawnością tylko zewnętrzną, moralność postępowaniem uzgodnionym wewnętrznie, obyczajność jest społecznym życiem według norm etycznych a zatem syntezą zewnętrznej legalności i wewnętrznej moralności. Realizacją tej syntezy jest państwo. Historia jest pamięcią rozwoju ducha obiektywnego.”

Zmiana, teza, antyteza, forma. Forma jest ucieleśnieniem ducha. Skoro tak to formy są ważne, i to niezależnie od tego czy Hegla szanujemy czy ... wręcz przeciwnie. O formach zatem muszę napisać więcej, bo domaga się tego społeczeństwo. Byłoby czymś nieobyczajnym gdybym tego nie zrobił.

Zmiana to na przykład zmiana położenia, przesunięcie, przemieszczenie. Przedstawiamy to często jako wektor:

Ma początek, ma koniec, ma zwrot (od A do B) zaznaczony strzałką (co byśmy robili bez strzałek?), ma kierunek. Wikipedia dodaje taki obrazek wyjaśniający:

wektor moduł

Na obrazku widzimy słówko „moduł”. Czy słówko to nam coś wyjaśnia? Wygląda jakby „moduł” to było coś jakby „długość”. Ale skąd możemy wiedzieć jaką wektor ma „długość”? Ma długość 2 czy długość 20? Narzuca się odpowiedź: „zależy czym mierzymy”. No właśnie, bez formy się nie obędzie. Jeśli naniosę na rysunek siatkę współrzędnej x:

wtedy będziemy mogli powiedzieć, że z naszym wektorem możemy związać liczbę 6 (łatwo policzyć). To x-owa składowa naszego wektora w naszym układzie współrzędnych. Z naniesioną siatką każdemu wektorowi możemy przyporządkować liczbę. Przy tym sumie wektorów (według reguły dodawania wektorów metodą równoległoboku) odpowiada suma liczb. Mamy więc formę. Jeśli naszą współrzędną oznaczyliśmy literką x, to formę z nią związaną matematyk oznacza literką dx. Jeśli nasz wektor oznaczę literką v, to matematyk opisze nasz obrazek wzorem

dx(v) = 6

Jeśli naniosę inną współrzędną, x'

wtedy będziemy mieli:

dx'(v) = 3

Oczywiście nasz wektor leży w płaszczyźnie a nie na prostej. Znajomość jednej tylko formy nie wystarcza do odtworzenie wektora. Potrzebne są dwie formy. Na przykład:

Siatka pionowa ilustruje formę dx, siatka pozioma ilustruje formę dy. Mamy więc

dx(v)= 6

dy(v) = 3

Ta informacja pozwala nam na odtworzenie wektora, no z dokładnością do punktu zaczepienia, ale ten możemy wybrać sobie dowolnie.

W przestrzeni dla odtworzenia wektora potrzebne nam są trzy niezależne formy. W przestrzeni n-wymiarowej będzie ich n. Tak więc każda siatka współrzędnych definiuje formy. Ale formy mogą sobie istnieć także niezależnie od współrzędnych, choć to już jest wyższą szkołą wielowymiarowej jazdy.

Podczas gdy dla matematyka x-owa współrzędna to po prostu liczba, fizyk i inżynier widzą to inaczej. Przesunięcie to przesunięcie w przestrzeni, ona ma swój „wymiar fizyczny”. Dla fizyka będzie to x cm, albo x m. Lub x jednostek astronomicznych. Jeśli forma ma dawać obiektywną informację o przesunięciu, niezależną od wyboru jednostek, to wartość formy na wektorze winna być niemianowianą liczbą. Jeśli przesunięcie ma wymiar fizyczny „długość”, powiedzmy [m] – metr, to forma dająca obiektywną informację o przesunięciu winna mieć wymiar fizyczny [m^-1]. Jeśli przesunięcie w czasie ma wymiar fizyczny [s] – sekunda, to forma dająca obiektywną informację o tym przesunięciu winna mieć wymiar fizyczny [s^-1].

Jaka to wielkość fizyczna ma wymiar 1/s? Ano jest taka, to częstotliwość! A jaka wielkość fizyczna ma wymiar fizyczny 1/m? Ta jest mniej znana, nazywa się „liczbą falową”:

W Wikipedii znajdujemy też uwagę: W spektroskopii liczbą falową

nazywa się często odwrotność długości fali:

I tak, podążając tropem form doszliśmy do dualizmu korpuskularno-falowego, falowej natury materii, drgań, okresowości. Dziwne to. Wszystko ze wszystkim jest jakoś powiązane, rzeczywistość okazuje się holograficzną. Nie ma rady, trzeba się tym zająć, bo tu może leżeć klucz do zrozumienia tego jak naprawdę działa Przyroda.

Dodatek (wzorki mi się rozjechały w pionie).

Ten dodatek jest odpowiedzią na pytanie Zajtenberga z poprzedniej notki. Pytanie brzmiało: przyjrzyjmy się formule w której masa dana jest przez całkę z gęstości masy:

m =

(x, y, z)dxdydz.

Co tu jest wektorem? Co formą? Otóż aby odpowiedzieć na to pytanie musimy rozszyfrować tę całkę. Zamieńmy ją na sumę, weźmy jeden składnik tej sumy:

$\displaystyle \Delta$ m = $\displaystyle \Delta$ V $\displaystyle \rho$ (x, y, z)dxdydz

Tylko co to ma znaczyć? Otóż $\Delta$ V jest tu elementem objętości, zatem 3-wektorem, małym prostpadłościanem (bo pracujemy w kartezjańskim układzie współrzędnych). Gdy ten prostopadłościanik jest dostatecznie mały, wtedy gęstość masy można przyjąć za stała. Formą jest tu $\rho$ (x, y, z)dxdydz zaś $\Delta$ m jest wartością tej formy na 3-wektorze $\Delta$ V.