Formy, formy, formularze, pro forma. W ciągu ostatniego tygodnia formy nie wychodziły mi z głowy. Nie wychodziły mi z głowy także w dniu moich urodzin, gdy na stole zjawił się torcik ze świeczkami ułożonymi w kształcie nieskończoności.
Co jest wektorem a co jest formą? Oto jest pytanie. Oczywiście miałem pewne idee jak na przykład, że pole elektromagnetyczne i jego potencjał to formy a nie wektory. Że formą jest pęd i siła. Podczas gdy prędkość i przyśpieszenie są wektorami. Ale jedna rzecz to mieć ideę a inna to być w stanie tę ideę dobrze uzasadnić.
Forma w działaniu na wektor winna dawać liczbę. Ta liczba nie powinna zależeć od jakiegoś naszego wyboru jednostek. Gdzie w przyrodzie, a konkretniej – w fizyce - mamy z czymś takim do czynienia? Pomyślałem o stałej Plancka. Podczas gdy wielu ludzi, nawet fizyków, opowiada bajki o kwancie energii, stała Plancka nie jest kwantem energii. Stała Plancka jest kwantem działania. Ale co to jest działanie? Sporo fizyki opiera się o zasadę najmniejszego działania. Ale co to jest działanie? Laura zapytała mnie parę dni temu co to jest moc? To było łatwe do wytłumaczenia. Ta sam praca może być wykonana w krótkim lub długim czasie. By wykonać ją szybko potrzebna nam moc. Ale jak wytłumaczyć co to jest działanie? Temperaturę czujemy, upływ czasu czujemy, nawet wydatkowaną moc czujemy (czują to sportowcy w swoich mięśniach). A działania nie czujemy?
Zwróciłem się więc o pomoc do ludzi na Physicsforums z pytaniem What is "action" in human terms?. Nie otrzymałem w zasadzie stamtąd pomocy. Dyskusja zeszła na to czy ludzie mają wolę czy jej nie mają? Być może ludzie mają swobodę nie stosowania się do zasady najmniejszego działania, w przeciwieństwie do materii nieożywionej. Ale dyskutanci raczej skłaniali się do opinii, że wolna wola człowieka jest jedynie złudzeniem.
Wracam więc do pytania: co w fizyce jest „od samego początku” formą a nie wektorem?
Coś mnie podkusiło zajrzeć do dzieła Heinricha Hertza z roku 1899. Wielu z nas zna zapewne nazwisko Hertza jako tego, który pierwszy zademonstrował doświadczalnie rozchodzenie się fal elektromagnetycznych.
Heinrich Hertz (1857-1894), inżynier i fizyk, jest także autorem książki „Zasady mechaniki. Przedstawione w nowej formie”. (Można ściągnąć z sieci: The principles of mechanics : presented in a new form (1899))
Zacząłem czytać i od razu mi się spodobało, jak wiele zresztą książek i prac pisanych przed stu z nawiązką laty. Zaczyna Hertz od opisu sytuacji w fizyce, gdzie mamy z jednej strony rzeczywistość a z drugiej nasze idee o rzeczywistości i nasze modele. Narzeka Hertz na brak spójności w fizycznym obrazie świata, wymienia w szczególności np. problematyczne pojęcie siły odśrodkowej. Co to za siła, pisze, która nie jest przyczyną ruchu a jest wprowadzana jedynie po to by stało się zadość zasadzie akcja=reakcji? Następnie przystępuje do wprowadzania zasad mechaniki od podstaw i na innych podstawach niż to zrobił Newton. Oczywiście postuluje czas i przestrzeń – od czegoś trzeba przecież zacząć. Dalej jednak przechodzi do pojęcia masy. Z masą najwyraźniej Newton nie dał sobie rady. Nie bardzo u Newtona wiadomo co jest stwierdzeniem a co definicją. Hertz zaczyna więc od innego końca. Jak się wydaje Hertz lubi Leibiza, wyobraża więc sobie świat zbudowany z identycznych podstawowych elementów materialnych – przypomina mi to ideę monad Leibniza. Jako, że rzecz dotyczy mechaniki zaczyna Hertz od definicji cząstki materialnej i masy. Cząstka materialna jest z definicji niezmienna i niezniszczalna. W każdej chwili zajmuje określone położenie w przestrzeni. Masa zawarta w danym elemencie przestrzeni to, według Hertza po prostu ilość cząstek materialnych w tym elemencie. Ma to sens gdy założymy, że, poza położeniem w przestrzeni, cząstki materialne są identyczne jedna z drugą. By zajmować się mechaniką trzeba przejść do obrazu ciągłego, w którym to obrazie można mówić o „gęstości masy”. Punkt materialny to nic innego niż kolekcja cząstek materialnych – można mu przypisać położenie i masę. Jego masa zależy od jego składu, ale ten skład nas w mechanice nie interesuje.
Jako pierwszy i podstawowy przykład formy (3-formy) otrzymujemy więc „gęstość masy”. Ta przyporządkowuje każdemu elementowi objętości (trój-wektorowi) – liczbę, mianowicie masę zawartą w tym elemencie objętości, interpretowaną jako liczba cząstek materialnych zawartą w tym elemencie.
Oczywiście gdzieś w założeniu ukrywa się „najmniejsza materialna masa”. Czy fizyka zna takie pojęcie? Nie wiem. Nie mamy jeszcze powszechnie uznanej teorii budowy materii. W dodatku gdzieś za rogiem czyha na nas rzeczywistość kwantów, fizyka kwantowa, fale prawdopodobieństwa, grawitacja. Hertz pisał przed rokiem 1901, zatem o stałej Plancka nie wiedział.
Będę czytał Hertza dalej, bowiem moją uwagę przyciągnęło to, że w swojej mechanice, na długo przed Einsteinem wprowadził ideę, że ruch odbywa się po geodezyjnych w odpowiedniej przestrzeni. Miast mówić o zasadzie najmniejszego działania jako o podstawie mechaniki Hertz mówi o zasadzie „najkrótszej możliwej drogi”, albo „najprostszej drogi” w geometrii „odczuwanej” przez układ mechaniczny. Coś mi się tak wydaje, że Einstein „zapożyczył” swą ideę ruchu w polu grawitacyjnym właśnie od Hertza. I jak to bywało z Einsteinem, to i owo zabrał, to i owo dodał, po czym przedstawił ideę jako swoją własną o prekursorach nie wspominając. Ale to tylko moja hipoteza.
Wspomniałem wyżej, że, moim zdaniem, pęd jest ze swej natury, formą a nie wektorem? Dlaczego? Otóż znamy z mechaniki kwantowej słynną zasadę nieoznaczoności:
Po prawej stronie mamy stałą Plancka – kwant działania. Podczas gdy nie jesteśmy pewni gdy idzie o „kwant masy”, to jesteśmy pewni co do kwantu działania. Iloczyn pędu i położenia ma wymiar działania, a działanie możemy zawsze mierzyć w wielokrotnościach stałej Plancka. Żadne inne stałye przyrody nie są nam tu potrzebne. Zatem iloczyn pędu i położenia, mierzony w wielokrotnościach stałej Plancka, nie zależy od takiego czy innego wyboru jednostek. Pęd jest dualny do przesunięcia. Wiedzą zresztą o tym dobrze krystalografowie, którzy często używają „przestrzeni pędów”. Przesunięcie jest wektorem, pęd jest formą. Dualność pędu i położenia ma, moim zdaniem, charakter pierwotny, „przedmetryczny”, niezależny od takiej czy innej miary długości w przestrzeni.
Mam więc mojego pierwszego kandydata na „formę” - to pęd. W szczególnej i ogólnej teorii względności jest to część „czteropędu” - wektora o czterech składowych, jedną składową jest energia, pozostałe trzy to właśnie pęd. Bo energia, z tych samych względów co pęd, jest dualna do czasu tak jak pęd jest dualny do przestrzeni.
Komentarze