Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
3791
BLOG

Formy czasu i przestrzeni

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 82

 

Notkę poprzednią zakończyłem tymi słowy:
 
Jaki jest więc mój plan na przyszłość? Mój plan to opowiedzenie o „Space-time algebra” - algebrze czasoprzestrzeni. W ten sposób będziemy mogli na nowo wrócić do intrygujących monopoli magnetycznych, ale tym razem wyposażeni w relatywistyczne narzędzia. Będziemy mogli wprowadzić potencjały, opisać relatywistyczne wirowanie monopoli i ładunków, a także wejść w nowy świat pełen przygód i zasadzek.
 
W międzyczasie trochę wody w rzece upłynęło, przewaliła się przez nas grypa, zresztą jeszcze się tu i ówdzie wala, a głowa całkiem nie ostygła. Próbuję pójść dalej, podzielić się tym co wiem, zachęcić, pokazać, że nie takie to znów trudne, że „Polak potrafi”. Może i potrafi, ale jest zapracowany zarabianiem na chleb, więc mu czasu nie staje. Do dzieła zatem.
 
Spece-time algebra 2
 
 
No właśnie, pod jaką to górkę? Ta górka nosi nazwę Formy. Z wektorami jesteśmy na ogół zaprzyjaźnieni. Z dualnymi do nich formami rzecz ma się gorzej. A przecież są równie ważne jak wektory, może nawet ważniejsze od wektorów! Dlaczego tak mało o nich słyszymy? Dlatego, że zazwyczaj obracamy się w przestrzeni euklidesowej a tam łatwo formy utożsamiają się z wektorami. A w przestrzeni Minkowskiego i w przestrzeniach z krzywizną już tak nie jest. To trochę podobnie jak w szkolnej algebrze jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że czy napiszemy ab czy ba – na jedno wychodzi. Piszemy jak popadnie, często po prostu w porządku alfabetycznym. Ale gdy a i b są macierzami, lub gdy są kwaternionami – wtedy jest różnica pomiędzy ab i ba. W ab mnożymy a z prawej strony przez b, zaś w ba mnożymy a z lewej strony przez b. I dla macierzy, kwaternionów, elementów algebry Clifforda na ogół nie daje to tego samego wyniku. Musimy tam odróżniać mnożenie prawostronne od mnożenia lewostronnego.
 
Zatem chcę teraz, w miarę łagodnie, wprowadzić pojęcie form (często nazywanych dokładniej formami różniczkowymi, ale tym na razie głowy sobie zawracać nie będziemy). Podeprę się przy tym obrazkami z pracy prof. Bernarda Jancewicza p.t. „A Variable Metric Electrodynamics. The Coulomb and Biot-Savart Laws in Anisotropic Media”, Annals of Physics, Vol. 245, No 2, February 1, 1996, pp. 227-274. Praca ta jest wielce dydaktyczna i jest poświęcona w zasadzie rozważaniu jak wyglądałaby elektrodynamika, gdyby tak długo jak tylko się da unikać mieszania elektromagnetyzmu z grawitacją, gdy grawitacja interpretowana jest jako geometria czasoprzestrzeni zakodowana w jej metryce i krzywiźnie – jak to się robi od czasów Einsteina i jego Ogólnej Teorii Względności. Tak ogólnie, jak to się zwykle rozumie we współczesnej fizyce teoretycznej, to grawitacja jest spoiwem, które pozwala przekładać wszystko z form na wektory i z wektorów na formy. Taki właśnie jest geometryczny sens pola grawitacyjnego w ogólnej teorii względności. Cała reszta (jak krzywizna etc.) jesthttp://tygodnik.onet.pl/1,51605,druk.htmla już tego konsekwencją! Zabierzmy grawitację, załóżmy, że się jeszcze na dobre nie wylęgła, dopiero się do wylęgania zabiera, a już wektory i formy żyją każde innym życiem. A co, o elektromagnetyzmie bez grawitacji, choćby i tej płaskiej, to już nam myśleć nie wolno? A co, jeśli grawitacja powstaje w jakiś sposób z elektromagnetyzmu? Albo rodzą się razem, w bólach?
 
Co to są zatem formy? Krótko: Formy mierzą wektory a wektory mierzą formy. Aby to sobie jakoś uzmysłowić w najprostszym jednowymiarowym przypadku: wektor to ołówek, forma to przymiar krawiecki. Mogę przymiarem zmierzyć ołówek: jeśli przymiar ma europejską podziałkę, otrzymam liczbę (w cm), np. 19. Mogę jednak odczytać z podziałki w calach, (to inna forma), otrzymam dla ołówka wynik 7.5.
 
wektor z formą => liczba
 
Nie mając formy (podziałki) o wektorach mogę jedynie powiedzieć, że jeden wektor jest np. dwa i pół razy dłuższy od drugiego lub, że jeden wektor jest sumą dwóch innych wektorów.
 
Wyprzedzając nieco: jedno-formy mierzą wektory, dwu-formy mierzą dwu-wektory (elementy powierzchni), trój-formy mierzą trój-wektory (elementy objętości).
 
A oto obrazek ilustrujący jedno-formę
 
one-form
 
Jedno-forma to jedno-forma zorientowana. Jednym wektorom będzie przypisywać liczby dodatnie, innym, o zwrotach przeciwnych do tych pierwszych - liczby ujemne. Oto uproszczony obrazek jedno-formy, z zaznaczoną orientacją.
 
1-form
 
Podobnie dwu-formy i trój-formy:
 
2-form
 
three-form
 
Tyle obrazki. A jak to jest we współrzędnych? Bardzo prosto. Wektor a, powiedzmy w trójwymiarowej przestrzeni, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y,z) opisywany jest składowymi (ax,ay,az). Jedno-forma, powiedzmy f, też opisywana jest składowymi (fx,fy,fz). Wartość jedno-formy f na wektorze a wyraża się wtedy wzorem
 
f(a) = fxax+fyay+fzaz
 
Wygląda to, formalnie, jak wzór na iloczyn skalarny. Ale iloczynem skalarnym nie jest! Bo f jest formą zaś a jest wektorem. Aby zniechęcić ochoczych do utożsamiania form z wektorami matematycy i fizycy zwykle zapisują składowe wektora ze wskaźnikami u góry (ax,ay,az) zaś składowe jedno-formy – ze wskaźnikami u dołu. Zatem:
 
f(a) = fxax+fyay+fzaz
 
W teorii względności, tej szczególnej i tej ogólnej tego typu wyrażeń jest mrowie. Stąd używana jest tzw.konwencja sumacyjna Einsteina. Przede wszystkim zamiast pisać (ax,ay,az) pisze się (a1,a2,a3), podobnie zamiast (fx,fy,fz) pisze się (f1,f2,f3). Zamiast pisać wtedy
 
f(a) = f1a1+f2a2+f3a3
 
piszemy
 
f(a) = fiai
 
Każdy wtajemniczony powinien natychmiast przerobić sobie ten zapis w głowie tak:
 
Acha, jest jeden wskaźnik u dołu (forma) i jeden u góry (wektor) i liczę wartość formy na wektorze, czyli jest to krótki zapis sumy f(a) = f1a1+f2a2+f3a3. Oczywiście gdy jesteśmy w cztero-wymiarowej czaso-przestrzeni a nie w trójwymiarowej przestrzeni, wtedy z kontekstu wnioskujemy, że chodzi o
 
f(a) = f1a1+f2a2+f3a3 +f4a4.
 
W kolejnej notce zapoznamy się z formami dokładniej. Są naprawdę niezmiernie proste do zrozumienia i moją ambicją jest to zrozumienie ułatwić. Bez form nijak nie zrozumiemy o co idzie we współczesnych teoriach elektromagnetyzmu, elastyczności i grawitacji.
 
 

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie