Podczas ostatniego tygodnia zastanawiałem się dokąd pójść dalej? O czym pisać i w jakiej kolejności? A nie jest to prosta decyzja. Droga się bowiem rozwidla, staje się zaplątana, niełatwa do ustawienia w liniowym porządku. Krajobraz można podziwiać z lotu ptaka, ale po locie trzeba zejść na ziemię i przedzierać się przez gąszcze zanim znów wejdziemy na szeroki i prosty szlak.
W dodatku jest to także przygoda dla mnie samego, bo i ja sam nie wiem dokąd ten szlak może prowadzić. To znaczy wiem to i owo, ale jestem też świadom wielu niewiadomych.
Cały czas kręcimy się wokół elektromagnetyzmu, równań Maxwella, przy okazji poznajemy trochę kwaterniony i algebrę geometryczną przestrzeni. I w tym kierunku chcę zmierzać dalej. Jednak notkę dzisiejszą chcę poświęcić wyłącznie na sprawy techniczne – to jest na nieco tajemniczy związek algebry geometrycznej z algebrą macierzy używaną w mechanice kwantowej przy kwantowym opisie spinu elektronów i protonów. Poruszałem ten temat już dość dawno, zarówno w notkach dotyczących idei ks. Michała Hellera jak i w notkach o spinie, precesji Larmora, kołach Villarceau. Dziś wrócę do tego, ale od innej strony. Jako, że notka jest techniczna, poniższy zwięzły tekst, zawierający głownie formuły, jest napisany w TeX-u i przedstawiony jako obrazek. Wspomniałem już poprzednio, że algebra geometryczna, algebra Clifforda CL(3,0) jest izomorficzna (t.j. może być utożsamiona) z algebrą Mat(2,C) macierzy zespolonych o dwóch wierszach i dwóch kolumnach. Dziś opiszę ten izomorfizm w detalach (by zobaczyć, gdzie diabeł się ukrywa). Zauważmy najpierw, że zgadza się liczba wymiarów: algebra geometryczna jest ośmio-wymiarowa. Macierze zespolone 2x2 to 2x2=4 liczby zespolone, każda liczba zespolona to para liczb rzeczywistych, stąd 4x2=8 – to wymiar algebry Mat(2,C). Ale jak przyporządkować, skalarom, wektorom, pseudo-wektorom i pseudoskalarom macierze w ten sposób, by mnożenie w algebrze geometrycznej można było zastąpić łatwym do liczenia numerycznego mnożeniem macierzy? Oto jest pytanie. I jak operacje prim, gwiazdka, falka na elementach algebry geometrycznej realizują się jako operacje na macierzach? To następne pytanie. Gdy na te pytania będziemy znali odpowiedź, wtedy będziemy mogli używać algebry geometrycznej na każdym komputerze, bowiem nawet Excel (a pewnie i OpenOffice) zna operacje na macierzach i zna liczby zespolone (ew. po załadowaniu odpowiedniego dodatku). Będziemy więc mogli efektywnie dokonywać manipulacji na wektorach i pseudo-wektorach, skalarach i pseudo-skalarach, bawić się w monopole magnetyczne, a także obracać obiekty w przestrzeni, w Excelu lub na kartce papieru używając jedynie reguł dodawania i mnożenia macierzy.
Tyle formalizmu macierzowego. Spisałem to po to, bo ktoś to powinien spisać. Ale tak naprawdę – chcę pójść dalej. Dokąd?
Rzecz w tym, że dotąd mówiliśmy o algebrze przestrzeni. Od czasów Minkowskiego, Lorentza i Einsteina wiemy jednak jak wiele nowego wniosło do fizyki połączenie przestrzeni i czasu w czasoprzestrzeń. Formuła E = mc2 jest jednym tylko znanym przykładem. Połączenie przestrzeni i czasu w czasoprzestrzeń z jednej strony ograniczyło naszą wolność budowania modeli rzeczywistości, nałożyło więzy, z drugiej jednak strony, jak się wydaje, lepiej jest znać nasze ograniczenia niż łudzić się, że jesteśmy zupełnie wolni. O tym między innymi mówiłem na moim wykładzie parę dni temu. Nasza mała paleo-konferencja skończyła się wczoraj obiadem na statku płynącym Kanałem Dwóch Mórz.
Pieski podrosły, przeniosły się z naszej sypialni do kuchni i tam poznają świat. Póki co pełzają raczej niż chodzą. Konferencja z głowy. Mogę więc wrócić do normalnego trybu życia – czyli do badań.
Wracając do czasoprzestrzeni – naprawdę nie można się posunąć dalej nie zapoznawszy się z algebrą czasoprzestrzeni, t.j. z algebrą Clifforda Cl(3,1) lub z Cl(1,3). Jeden czas, trzy wymiary przestrzeni. Tylko którą z dwóch algebr wybrać? Czym się różnią? Czy czymś istotnym? Czymś co może mieć znaczenie dla zjawisk jakie opisują? Mało kto zadaje sobie takie pytania.
Jaki jest więc mój plan na przyszłość? Mój plan to opowiedzenie o „Space-time algebra” - algebrze czasoprzestrzeni. W ten sposób będziemy mogli na nowo wrócić do intrygujących monopoli magnetycznych, ale tym razem wyposażeni w relatywistyczne narzędzia. Będziemy mogli wprowadzić potencjały, opisać relatywistyczne wirowanie monopoli i ładunków, a także wejść w nowy świat pełen przygód i zasadzek.
