James Clerk Maxwell znany jest nie tylko z tego, że wymyślił równania Maxwella. Wymyślił też jak obejść 2-gą zasadę termodynamiki: trzeba tylko przekonać demona i skłonić go do pracy. Idea ta znana jest pod nazwą Demon Maxwella.
Można jednak demona skłonić i do czego innego, mianowicie do wyprodukowania równań Maxwell z algebry geometrycznej. Tak właśnie zrobiłem, bo z demonem jestem w komitywie. I to będzie tematem dzisiejszej notki. Jak zobaczymy nasz demon był przewrotny i wyprodukował nawet coś więcej niż równania Maxwella. Nie wiem czy cieszyć się z tego czy martwić.
W notce tej będziemy korzystać z tego, co już wprowadziłem w kilku poprzednich notkach – z podstawowych własności algebry geometrycznej przestrzeni (algebry Clifforda Cl(3,0)).
Chcemy wprowadzić pole. Pola fizyczne bywają różne: pole napięć, pole temperatur, pole grawitacyjne, pole elektromagnetyczne itd. Nie wszyscy są co do istnienia pól przekonani, jednak mało kto wątpi w to, że np. Temperatura może zmieniać się od punktu do punktu danego ciała, oraz że może się zmieniać z czasem. No i już mamy pole. Pole może być polem wielkości skalarnych (jak temperatura), lub polem wielkości wektorowych (jak np. pole prędkości w strumieniu wody). My, przewrotnie, wprowadzimy nowy rodzaj pola: pole elementów algebry geometrycznej. Każdy element algebry geometrycznej można zapisać w postaci (patrz poprzednie notki):
f = u + E + IB + Iv
Tutaj u oraz v są skalarami, E oraz B są wektorami. I jest pseudoskalarem bazowym: I=e1e2e3.
Przypomnę, że z własności algebry geometrycznej wynika, że I2= -1. Ponieważ interesuje na nie jeden element algebry a całe ich pole, więc założymy, że f może zależeć od punktu przestrzeni i zmieniać się z czasem. Zatem
f(x,y,z,t) = u(x,y,z,t) + E(x,y,z,t) + IB(x,y,z,t) + Iv(x,y,z,t).
W jednym f kryje się więc kilka pól: dwa pola skalarne (u,v) i dwa pola wektorowe (E,B). Razem obiekt ośmiowymiarowy.
Chcemy napisać teraz równania pola. Samemu trudno równania wymyślić, więc zapytajmy demona co ten nam zaproponuje. Demon zaproponował wprowadzenie prostego operatora:
D = d/dt + e1d/dx +e2d/dy + e3d/dz.
Ze względów typograficznych użyłem tu literki d dla pochodnych cząstkowych. Widać stąd, że nasz demon się nie wysilił, poszedł na łatwiznę. Coś prostszego trudno w istocie wymyślić. Trzeba teraz napisać równania pola. Demon proponuje po lewej stronie napisać Df. A co po prawej? Po prawej trzeba napisać źródło pola. Trzeba je jakoś nazwać. Demon proponuje symbol J. Osobiście mi ta propozycja odpowiada, J to wszak pierwsza litera znanego mi dobrze nazwiska. Mamy więc równania:
J jest oczywiście również elementem algebry, zatem będzie postaci
J = ρe + je + Ijm+ Iρm
Demon proponuje nazwać E polem elektrycznym, B polem magnetycznym, (indukcja magnetyczna) ρe gęstością ładunku elektrycznego, ρm gęstością ładunku magnetycznego, je – gęstością prądu elektrycznego, jm gęstością prądu magnetycznego. Gdy pytałem o nazwy dla u i v, mój demon nabrał wody w usta i zrobił tajemniczą minę: „Wymyślcie sami, ale wiem, że nie wymyślicie – wasza bieda”.
Mamy jesień, wieczory robią się długie, możemy więc jeden wieczór poświęcić na rozpisanie naszego równania na składowe. Otrzymamy w sumie osiem równań – dwa równania skalarne i dwa wektorowe. Napiszę wynik tego ćwiczenia, mając nadzieję, że się nie pomyliłem. A wynik jest taki - jako obrazek
Jako HTML:
du/dt + div E = ρe,
dE/dt + ∇u - ∇ × B = je,
dB/dt + ∇v + ∇ × E = jm,
dv/dt + div B = ρm.
Wyrzućmy diabelskie dodatki, jakieś u,v, jakieś ładunki i prądy magnetyczne. Połóżmy
u=v=0,
ρm = 0, jm =0.
Co dostajemy? Dostajemy piękne równania Maxwella:
Jako obrazek:
Jako HTML:
div E = ρe,
dE/dt - ∇ × B = je,
dB/dt + ∇ × E = 0,
div B = 0.
no może z jedną różnicą, że nasza gęstość prądu jest równy minus gęstości prądu z podręczników, ale to tylko kwestia umowy.
A co, jeśli diabła posłuchamy? Cóż, wtedy będziemy musieli wziąć na serio hipotezę istnienia monopoli magnetycznych, a za to mogą nas wyrzucić ze szkoły! W dodatku są jeszcze te nieszczęsne u, i v – za nie można wręcz trafić do ciupy!
