Czy matematyka może mieć jakieś zastosowania? Czy może nam pomóc w zrozumieniu otaczającej nas rzeczywistości? Czy może nam pomóc w odkryciu czegoś nowego, jakichś nowych prawidłowości o praktycznym zastosowaniu? Cóż, z matematyką jest tak jak z każdym innym narzędziem – użyteczność narzędzia zależy od tego na ile funkcje tego narzędzia opanujemy. Dzisiaj na przykład oprócz narzędzi materialnych mamy narzędzia innego rodzaju – to oprogramowanie. Pisząc notkę możemy nie używać niczego prócz zwykłego tekstu. Doświadczony programista wzbogaci jednak swój tekst o możliwości które daje nam środowisko, da tło, zmieni czcionkę, wstawi obrazki odpowiedniej wielkości na odpowiednim tle itd – bowiem opanował narzędzie. Podobnie jest z matematyką w ogólności a z algebrą Clifforda – czym się aktualnie zajmujemy – w szczególności. Najpierw musimy narzędzie nieco opanować, potem dopiero wyciągać z niego możliwości zastosowań. Kto nie ma cierpliwości – ten i nie zyskuje. Kto ma cierpliwość – ten może, choć nie musi, zyskać. W każde przedsięwzięcie trzeba coś zainwestować. Inwestycja ma jednak zawsze w sobie większy lub mniejszy element ryzyka.
W tej serii notek zachęcam do zainwestowania w algebrę Clifforda Cl(3,0) inaczej nazywaną algebrą geometryczną (trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej). Jest prosta i piękna. Jej elementy nazywamy wielowektorami. Czy może być użyteczna? By z niej coś użytecznego wyciągnąć musimy wpierw lepiej ją poznać, bo dopiero zaledwie zaczęliśmy. Mój wykład ma na celu przegląd jej własności i możliwości. Nie wszystkie własności będę mógł pokazać – na to potrzebna byłaby cała książka. Niektóre można łatwo otrzymać samemu, inne wymagałaby dłuższych matematycznych wywodów. Te będę opuszczał przedstawiając jedynie końcowe i łatwo zrozumiałe wyniki tych wywodów.
Główny anty-automorfizm (ang. main anti-automorphism).
Brzmi to wielce uczenie, choć operacja jest prosta do opisania – odwrócenie porządku mnożenia. Oznaczmy jest w literaturze fachowej różnie. Ja, ze względów typograficznych będę go oznaczał symbolem '. Ma własności:
(ab)' =b'a'
(abc)'= c'b'a'
Z jedynką nic nie robi: 1'=1.
Z wektorami e1,e2,e3 nic nie robi:
(e1)' = e1 ,itd.
W dwuwektorach zmienia kolejność – wynikiem jest mnożenie przez -1, np:
(e12)' = (e1e2)' = e2e1 = -e1e2 = - e12
Na trójwektorach? Policzmy
e123' = (e1e2e3)' = e3e2e1 = e1e3e2 = -e1e2e3 = -e123
Zatem zmienia znak trójwektorów.
Przy tym zawsze (a+b)' = a' + b'.
Ponieważ podwójna zmiana znaku oznacza brak zmiany, stąd zawsze a'' = a.
Norma (długość) wielowektora.
Na płaszczyźnie kwadrat długości wektora r = (x,y) obliczamy ze wzoru:
|r|2 = x 2 + y 2
W przestrzeni trójwymiarowej dla wektora r = (x,y,z) używamy formuły
|r|2 = x 2 + y 2 + z 2
Nasza algebra jest ośmiowymiarowa. Każdy element naszej algebry można zapisać w postaci
a = a0 +a1e1+a2e2 + a3e3 + a4e23 + a5e31 + a6 e12 + a7e123
gdzie a0, a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7są współczynnikami liczbowymi. Kwadrat długości wielowektora a definiujemy jako
|a|2 = (a0)2 + (a1)2 +(a2)2 +(a3)2 +(a4)2 +(a5)2 +(a6)2 +(a7)2
Nietrudno się przekonać, że dla każdego wielowektora a, |a| 2 = to nic innego jak część skalarna iloczynu aa' (lub, co na to samo wychodzi, część skalarna iloczynu a'a. (To właśnie tę definicję należy przyjąć za podstawę przy definicji naturalnego „kwadratu długości” i iloczynu skalarnego dla elementów algebry Clifforda w przypadku algebr Cl(r,s).) Nasze osiem wektorów bazowych – każdy z nich ma, z definicji, długość równą 1. Dla zwykłych wektorów, rozpinanych na e1,e2,e3, długość w algebrze Clifforda pokrywa się ze zwykłą definicją długości wektora w trójwymiarowej przestrzeni.
Ponieważ główny anty-automorfizm zmienia jedynie znak niektórych wektorów bazowych algebry, zaś w formule na |a|2 mamy kwadraty, te nie poczują zmiany znaku. Stąd dla każdego a mamy |a'|2 =|a|2 .
Długość wielowektora definiujemy jako pierwiastek kwadratowy z |a|2 – to chyba jasne.
Operator dualności – tzw. * (gwiazdka) Hodge'a.
Do każdej prostej w przestrzeni jest jedna (z dokładnością do przesunięcia) płaszczyzna prostopadła. Do każdej płaszczyzny w przestrzeni jest jedna (z dokładnością do przesunięcia) prosta prostopadła. Te i inne obserwacje geometryczne doprowadziły do badań nad dualnością. Dualności w naszej geometrii przestrzeni poświęcone są całe tomy. Kiedyś uczono tego nauczycieli matematyki na wykładzie podstaw geometrii. Nie wiem jak to jest dzisiaj. W algebrze geometrycznej dualność kodowana jest w operatorze * Hodge'a.
Mamy w naszej algebrze trójwektor e123 o ciekawych własnościach. W poprzednich notkach z tej serii użyłem dla jego oznaczenia literki e. Jednak wiemy już, że jego kwadrat w algebrze jest równy -1, podobnie jak to jest dla tajemniczego urojonego i. Mógłbym więc użyć dla jego oznaczenia literki i.Trudno się zdecydować. W swojej monografii „Multivectors and Clifford Algebra in Electrodynamics” prof. Bernard Jancewicz używa literki I. Pójdę za jego przykładem, dlaczegóżby nie? Zatem oznaczmy
I = e123
Wiemy już, że
I2 = -1
Ia = aI dla każdego wielowektora a.
Definiujemy operator * Hodge'a jako mnożenie przez I:
*a = aI = Ia.
Oczywiście * w kwadracie = ** = -1 – mnożenie przez -1.
Popatrzmy jak operator Hodge'a działa na naszych wektorach bazowych, Nietrudno policzyć
*1 = I = e123
*e1 = e1e123= e23
*e2 = e2e123= -e13= e31
*e3 = e3e123= e12
*e23 = -e1
*e31 = -e2
*e12 = -e3
*e123 = -1
W sieci możemy znaleźć definicję iloczynu wektorowego:
Iloczyn wektorowy, dla wektorów v, w wektor oznaczany v × w, prostopadły do wektorów v, w spełniający warunek: |v × w|=|v| · |w| · sin ϕ gdzie ϕ kąt między wektorami v, w oraz taki, dla którego trójka wektorów v,w, v × w jest zgodnie zorientowana z układem osi współrzędnych.
W Wikipedii, pod hasłem wektor mamy też formułkę algebraiczną:
Przyjmijmy ją za definicję i podziałajmy na iloczyn wektorowy operatorem Hodge'a. Otrzymamy dwuwektor. Jaki? W poprzedniej notce widzieliśmy, że
a∧b = (a2b3-a3b2)e23+(a3b1-a1b3)e31+(a1b2-a2b1)e12
Stąd łatwo sprawdzamy, że
*(a×b) = a∧b
I w ten sposób otrzymujemy interpretację iloczynu zewnętrznego dwóch wektorów: iloczyn zewnętrzny a∧b wektorów a i b interpretujemy jako element powierzchni rozpinanej przez wektory a i b o polu powierzchni równym |a||b| sin(a,b)
I teraz zaczynają się małe schody.
Wiemy bowiem, że a∧b = - b∧a.Wynika stąd w szczególności, że a∧a =0.Skoro tak, to a∧b= a∧(a+b). Jak mamy zatem przedstawiać wizualnie nasz dwuwektor? Jako równoległobok rozpięty na wektorach a i b, czy też rozpięty na a i a+b? A może jeszcze na innych? Byle ta sama płaszczyzna i to samo pole? Mamy więc różne metody wizualizacji iloczynu zewnętrznego. Oto kilka przykładów:
Dobrze przy wizualizacji zaznaczyć orientację: od a do b. Zmiana orientacji to zmiana znaku dwuwektora. Jancewicz nazywa te dwuwektory wolutorami (volutors) – niech mu tak będzie (gdzie indziej nazywane są dwuwektorami prostymi). Dwuwektory postaci a∧b mają więc prostą interpratację geometryczną. Ale przecież wiemy, że ogólny dwuwektor a to element algebry rozpinany na dwuwektorach bazowych e23,e31,e12:
a4e23+ a5e31+ a6e12
Jak takie coś mamy sobie wyobrazić? Choć można się wysilić i podać geometryczną interpretację dodawania, nie musimy jednak tego robić. Trochę algebry i można udowodnić matematycznie, że w naszej algebrze geometrycznej każdy dwuwektor da się zapisać w postaci a∧b. Trzeba się tylko czasem napracować, by te a i b znaleźć. Nie jest tak już w przestrzeni czterowymiarowej. Rzecz w tym, że w trójwymiarowej przestrzeni każde dwie płaszczyzny (byle nie były równoległe) przecinają się wzdłuż prostej. A w przestrzeni czterowymiarowej lub o wyższej liczbie wymiarów mogą ale nie muszą!
I w ten sposób weszliśmy po schodach na półpietro. Z tego półpiętra jeszcze parę schodów i będziemy mogli zaprzęgnąć wolutory do roboty – niechaj coś zaczną toczyć!
