Maxwell i kwaterniony – Cz. 4 - blog Arkadiusz Jadczyk

O samym Maxwellu dziś właściwie nic nie będzie. Będzie o jego ulubionych kwaternionach i o Cliffordzie. Będzie o „rotorach” i o „wektorach” Clifforda, o obrotach, a także o tym, że obracanie, gdy się go nie rozumie, może być niebezpieczne. Zacznijmy od tego ostatniego. W ciekawej książce „Visualizing Quaternions”, Andrew J. Hanson podaje dwa takie przykłady. Pierwszy to fatalne problemy ze sterowaniem kapsułą Apollo w trakcie symulacji lotu na Księżyc. Układ sterowania żyroskopami i napędem w pewnej chwili zwariował. A żyroskopy to urządzenia wielce skomplikowane:

Ich zachowanie opisywane jest przez mechanikę Newtona, co jest wzięte pod uwagę w oprogramowaniu tłumaczącym zachowanie się żyroskopów na rozkazy dla urządzeń napędzających. Zarządzanie obrotami wymaga obliczeń i jedne metody obliczeń są bardziej podatne na błędy niż inne. Najbardziej skuteczne okazały się obliczenia oparte na rachunku kwaternionów.

Przykład drugi, to niespodziewane zachowanie się myśliwca F16, także w czasie symulacji, gdy samolot przekraczał równik. Testujący oprzyrządowanie i oprogramowanie technicy zauważyli, że przy przekraczaniu równika urządzenia sterujące przewracają samolot do góry kołami:

I w tym przypadku prostym wyjściem z zawiłości technicznych było użycie rachunku kwaternionów. Dziś rachunek ten jest dość powszechnie stosowany przy programowaniu gier komputerowych. Pozwala na szybkie algorytmy obliczeń i szybką interpolację pomiędzy różnymi orientacjami układu odniesienia.

Przeczuwał to Maxwell, przeczuwał Clifford, ale, jak zobaczymy, nie przeczuli do końca i w trakcie swego „przeczuwania” popełniali też błędy. Tak zresztą często bywa. Przychodzi nam do głowy jakaś nowa i śmiała idea. Dokonujemy odkrycia. Ale potem okazuje się, że pierwotna idea była po części fałszywa, Wiedzieliśmy dobrze, że gdzieś dzwonią, ale potem okazało się, że owszem, tyle, że w innym kościele niż myśleliśmy. Dlatego tak bardzo ważna jest współpraca i gotowość do podważania autorytetów – gdy się samemu opanuje dany przedmiot na poziomie eksperta. Bo autorytety, choć często mają rację, to czasem się mylą. A pomyłki mogą kosztować wiele.

Powróćmy do fragmentu rozważań samego Clifforda, fragmentu, który przytoczyłem w poprzednim odcinku:

Clifford w swoje pracy proponuje jednak taką interpretację:

Kwaternion i = e₂₃obraca wektory o 90 stopni względem osi x, w płaszczyźnie y,z. Obracając dwa razy o 90 stopni otrzymujemy obrót o 180 stopni. W wyniku obrotu o 180 stopni wektor zmienia swój znak. Oto dlaczego i ²= -1.

Analogicznie z j i z k. Tajemnicza minus jedynka powstająca w wyniku podniesienia do kwadratu nabiera teraz przejrzystego sensu geometrycznego. Przestaje być tajemnicza! Staje się sympatyczna. Wyobraźmy sobie radość Clifforda gdy to odkrył! A jak szczęśliwy byłby Maxwell gdyby o tym wiedział!

Spróbujmy zrozumieć o co tu idzie używając w tym celu działań w 8-mio wymiarowej algebrze Clifforda omówionej w poprzednim odcinku. Zrobimy to przy tym nieco ogólniej niż w przykładzie samego Clifforda. Weźmy wektor jednostkowy n o składowych n_x,n_y,n_z. Wektor jest jednostkowy, to znaczy n² = n_x²+ n_y²+n_z²= 1.

Zwiążmy z tym wektorem kwaternion e(n):

e(n):= n_x i+n_y j+n_z k= n_x e₂₃+ n_y e₃₁+ n_z e₁₂

Clifford w swoim przykładzie miał n =(1,0,0). My możemy to zrobić ogólniej. Teraz e(n) jest parzystym elementem algebry Clifforda, według terminologii Clifforda – rotorem. Rotory, według Clifforda, reprezentują operacje na wektorach. Potrzebny nam zatem także wektor, powiedzmy r, o składowych (x,y,z). Wektory to elementy z nieparzystej części algebry Clifforda, w naszym przypadku z wektorem r zwiążemy element, który oznaczę tą samą literką r:

r = x e₁+ y e₂+ ze₃

Możemy teraz obliczyć wynik „operacji” rotora e(n) na wektorze r. Wystarczy do tego podana w poprzednim odcinku recepta działań w algebrze Clifforda i trochę cierpliwości. W sumie będziemy mieli 3x3=9 członów, które trzeba trochę uporządkować. Ćwiczenie proste, a jego wynikiem winna być następująca formuła:

e(n)r = (n.r)e₁₂₃ + (nxr).e

Przez pogrubione e oznaczyłem tu trójkę (e₁,e₂,e₃).

Widzimy, że wynik działania rotora e(n) na wektor r składa się z dwóch części. Część pierwsza jest proporcjonalna do trójwektora e₁₂₃, a współczynnikiem proporcjonalności jest iloczyn skalarny wektorów n i r. Część druga to w istocie nowy wektor – mianowicie iloczyn wektorowy wektorów n i r. Tylko w przypadku gdy n i r są wzajemnie prostopadłe (zatem gdy iloczyn skalarny (n.r) jest równy zeru), tylko wtedy wynikiem działania rotora na wektor jest znowu wektor. W przeciwnym razie mamy domieszkę trójwektorową, która nam bruździ ładną interpretację.

Założmy zatem, choćby po to by zrozumieć co miał na myśli Clifford, że mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem, gdy n i r są wzajemnie prostopadłe. Wtedy wynikiem działania rotora e(n) na wektor r jest iloczyn wektorowy nxr. Wektor ten jest także prostopadły do wektora n, i także prostopadły do wektora r – zgodnie z regułą śruby. Leży więc w płaszczyźnie prostopadłej do wektora n i jest obrócony względem r o 90 stopni – tak jak chciał tego Clifford. Ale Clifford nie zaznaczył, że jego interpretacja jest słuszna jedynie w przypadku, gdy wektor obracany leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rotora. Jeśli tak nie jest – wtedy interpretacja Clifforda się wali! Clifford, jestem o tym przekonany, zrobił sobie powyższy prosty rachunek. Jednak był tak przywiązany do swojej interpretacji, że rachunku nie przytoczył – podważyłby on bowiem jego wiarę w to, że odkrył coś pięknego i nowego.

I w samej rzeczy, musiało minąć sporo czasu nim zrozumieliśmy co się w algebrze Clifforda dzieje, a i dziś jeszcze być może nie wszystko do końca rozumiemy.

Jak to więc jest z tymi rotorami? Dalsze rozważania doprowadzą nas do „spinu”. A że spin jest ważny, o tym powinni wiedzieć wszyscy użytkownicy komputerów – zapis magnetyczny na dyskach stałych oparty jest bowiem na równoległym ustawianiu spinów. Popatrzmy na tą okładkę z ostatniego numeru Europhysicsnews: