W roku 1879 zmarł James Clerk Maxwell. Rok wcześniej William Kingdom Clifford opublikował swą pracę „Applications of Grassmann's Extensive Algebra”. Gdyby Maxwell żył dłużej, być może podjąłby się pracy nad kolejnym wydaniem swego traktatu o elektryczności i magnetyzmie – tym razem z użyciem tego, co Clifford nazwał „n-way algebra”, a co dziś nazywamy algebrą Clifforda.
Sam Clifford dokonał swego odkrycia pod wpływem trzech źródeł: kwaternionów Hamiltona, traktatu Maxwella, oraz rachunku geometrycznego Grassmanna. Zacznijmy jednak od Grassmanna – jako, że ten był związany z dobrze nam znanym Szczecinem. Grassmann nazwał swoją teorię z niemiecka „Ausdehnungslehre”. Z angielska nazywa się to „Theory of extensions”, z polska .... „Teoria rozszerzeń”? Dziś nazywamy to po prostu „algebrą Grassmanna”. W swojej pracy Clifford zaczyna od skromnego stwierdzenia, że dotąd niewiele wiedział zbyt wiele a algebrze Grasmanna, tyle co z prac samego Grassmanna. Następnie wyraża swój głęboki podziw dla osiągnięć Grassmanna i przekonanie, że o tym, że w przyszłości teoria Grassmanna wpłynie w sposób istotny na dalszy rozwój matematyki. I tu się Clifford nie pomylił. Nie tylko rozwój matematyki ale i pokrewnych dziedzin ścisłych zawdzięcza dziś wiele ideom Grassmanna. Wybiorę tutaj to i owo z tej pracy Clifforda a następnie dopasuję do tego co wiemy dzisiaj.
Już na wstępnie Clifford stwierdza, że celem jego pracy jest znalezienie miejsca dla kwaternionów w szerszym systemie algebraicznym oraz uogólnienie na dowolną liczbę wymiarów. Zarysowuje przy tym swą filozofię, różniącą się od filozofii Grassmanna. Sam odbieram tę różnicę tak: Grassmann myślał statycznie, Clifford myślał dynamicznie. Dla Grassmanna ważne było „co to jest?”. Dla Clifforda ważne było „co to robi?” Grassmann myślał o „działaniach matematycznych”. Clifford myślał o „operacjach”. Pisze tak:
Gdy myślimy o iloczynie, może my myśleć o nim na dwa sposoby. Gdy piszemy 2x3=6, to możemy myśleć o tym, że liczba 6 wywodzi się z liczb 2 i 3 poprzez proces w którym zarówno 2 jak i 3 odgrywają podobną rolę. Możemy jednak myśleć inaczej, że 6 otrzymany jest z 3 w wyniku operacji podwojenia. Teoria Grassmanna, pisze Clifford, oparta jest na pierwszym sposobie myślenia – gdy myśleimy na przykład, że równoległobok jest iloczynem swych boków. Ale o kwaternionach na przykład, pisze Clifford, należy myśleć inaczej. Gdy widzimy równanie równanie qp=r, gdzie p i r są wektorami, to kwaternion q jest operacją obracania i rozciągania zastosowaną do wektora p. W wyniku tej operacji otrzymujemy wektor r . Operacja na wektorach, podkreśla Clifford, jest czymś całkowicie odmiennym od wektora. Przywołuje też Clifford traktat Maxwella i podkreśla, że Maxwell musiał rozróżniać dwa rodzaje wektorów, jedne nazywał siłami (force), inne potokami (flow). Trzeba rozróżniać, pisze Clifford, pomiędzy elementem powierzchni a reprezentującym ten element (prostopadłym do niego) wektorem.
Takie rozróżnienie częściowo, ale tylko częściowo, ma miejsce w algebrze Grasmanna. Pisze Clifford. „ośmielę się nie zgodzić z jego autorytetem”. Co więc Clifford proponuje w zamian? Proponuje nową algebrę. A co to za algebra?
Przyjrzyjmy się temu jak Clifford ją konstruuje, póki co dla trzech wymiarów. Elementy tej algebry Clifford oznacza literkami i. Ja będę używał liter e.
Z trzema wersorami (jednostkowymi wektorami, wzajemnie prostopadłymi do siebie) kartezjańskiego układu współrzędnych wiąże Clifford trzy element algebry: e1,e2,e3. Podobnie jak kwaterniony Hamiltona powinny być ze sobą anty przemienne:
e1e2 = -e2e1
e2e3 = -e3e2
e3e1 = -e1e3
Podobnie jak w algebrze kwaternionów, każdy z nich, podniesiony do kwadratu daje -1:
e12= e22= e32= -1
Podobnie jak w algebrze kwaternionów do algebra należą więc również liczby rzeczywiste. Te są przemienne ze wszystkimi elementami algebry. Ale – i tu się pojawia różnica pomiędzy Cliffordem a Hamiltonem – Clifford nie zakłada niczego o iloczynie e1e2 - poza tym co zostało wyżej powiedziane. Nie zakłada też nic o iloczynie e1e2e3. Wszystkie własności algebraiczne należy wydedukować z wyliczonych wyżej własności i z niczego więcej.
Jak wielka jest ta algebra? To nietrudno policzyć. Jest ośmiowymiarowa.
Każdy element tej algebry jest kombinacją liniową tych ośmiu elementów:
1
e1, e2, e3
e1e2, e2e3, e3e1
e1e2e3.
Dlaczego? Bo weźmy na przykład iloczyn e1e2e1i skorzystajmy z naszył reguł
e1e2e1 = -e1e1e2 = - e12e2= e2
Warto trochę uprościć oznaczenia by nie pisać tak wiele liter e. Zapiszemy więc:
e12 = e1e2
e23 = e2e3
e31 = e3e1
e = e1e2e3
Zatem ogólny element naszej algebry ma postać:
a+xe1+ye2+ze3 + pe12+qe23+re31+se
Tutaj a,x,y,z,p,q,r,s są liczbami rzeczywistymi. Ósemka liczb rzeczywistych wyznacza element naszej algebry i każde element algebry da się w ten sposób zapisać.
Elementy algebry postaci xe1+ye2+ze3 nazywa Clifford wektorami. Część liczbowa – liczba a – to skalar. Elementy postaci pe12+qe23+re31 nazywa Clifford rotorami(rotors) Dlaczego? To zobaczymy. Zobaczymy też, że nie każdy element tej postaci tak naprawdę jest rotorem. Zatem będziemy, póki co używać dla nich dzisiejszej nazwy – to dwuwektory. Clifford tak drobiazgowy nie jest. To rozpoznanie przyszło dopiero później.
Zostały nam wreszcie elementy se. Te dziś nazywamy trójwektorami lub, co na to samo wychodzi ze względu na ich własności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, pseudoskalarami.
Przestrzeń skalarów jest jednowymiarowa. Przestrzeń wektorów jest 3-wymiarowa. Przestrzeń dwu-wektorów jest 3-wymiarowa. Przestrzeń pseudoskalarów jest jednowymiarowa. Mamy ciekawą symetrię: 1,3,3,1. Razem 1+3+3+1=8. A 8=23 i to nie jest przypadek.
No dobrze, a gdzie tu się ukrywają kwaterniony? Myślę, że było to dla Clifforda wielkim przeżyciem, gdy zauważył, że kwaterniony Hamiltona i, j, k to nic innego jak
i = e23
j = e31
k = e12
No bo sprawdźmy, korzystając z naszył reguł i z niczego więcej:
i2 = e23 e23 = e2e3 e2e3= -e2e2 e3e3= = -(-1)(-1) = -1
ij = e23e31= e2e3e3e1= -e2e1= e1e2= e12= k
Iw ten sam sposób można sprawdzić całą tabelkę mnożenia kwaternionów. A oto obrazek wyciety z oryginalnej pracy Clifforda, który sobie trochę wymnażał w pamięci:
Dla zainteresowanych, oraz dla tych, którzy chcieliby sprawdzić, czy czegoś nie przeinaczam, oto fragment z pracy Clifforda „Applications of Grassmann's Extensive Algebra”, fragment następujący tuż pod tymi obliczeniami:
“In order, therefore, to bring the quaternion algebra within that of the Ausdehnungslehre, we have to make the square of each of our units equal to-1, as pointed out by Grassmann (Math. Annalen). But I venture to differ from his authority in thinking that the quaternion symbols do not in the first place answer to the "Elementargrosse" of the Ausdehnungslehre, but to binary products of them; from which supposition, as we have seen, the laws of their multiplication follow at once.
It is quite true that in process of time the conception of a product as derived from factors of the same kind, and so of the product of two vectors, as a thing which might be thought of without regarding them as rectangular versors, grew upon Hamilton's mind, and led to the gradual replacement of the units i, j, k by the more general selective symbols S andV. To explain the laws of multiplication of i, j, k on this view, we must have recourse to the theory of "Erganzung," or which comes to the same thing, represent an area ij by a vector k perpendicular to it. But the explanation in this case is by no means so easy; and it is instructive to observe that the distinction between a quantity and its "Erganzung," i.e. between an area and its representative vector, which, for some purposes, it is so convenient to ignore, has to be reintroduced in physics. Thus Maxwell specially distinguishes the two kinds of vectors, which he calls force and flow, and which in fact are respectively linear functions of the units and of their binary products.”
Sprobujmy teraz podsumować czegośmy się dotąd dowiedzieli:
Jest sobie ośmiowymiarowa przestrzeń, która ma strukturę algebry. Przestrzeń ta dzieli się na sektory
0) sektor jednowymiarowy – to skalary, liczby
1) sektor 3-wymiarowy – to wektory
2) drugi sektor 3-wymiarowy – to dwuwektory (tu są „rotory”)
3) sektor jednowymiarowy – to trójwektory
Kwaterniony Hamiltona to kombinacje skalarów i dwuwektorów.
Sektory 0+2 tworzą część algebry zwaną częściąparzystą.
Sektory 1+3 tworzą część algebry zwaną częścią nieparzystą.
Kwaterniony Hamiltona to część parzysta algebry Clifforda.
Mnożąc przez siebie dwa element parzyste otrzymujemy znów element parzysty. Mówimy, że część parzysta tworzy podalgebrę.
Mnożąc przez siebie dwa elementy nieparzyste otrzymujemy element parzysty.
Mamy więc miejsce dla tego co Maxwell nazywał siłami – to wektory.
Mamy też miejsce dla tego co Maxwell nazywał przepływami – to dwuwektory
Nie wiemy jednak na razie czemu dwuwektory mogą być „rotorami” - nic tu się nie obraca – na razie.
Clifford w swojej pracy proponuje jednak taką interpretację:
Kwaternion i = e23 obraca wektory o 90 stopni względem osi x, w płasczyźnie y,z. Obracając dwa razy o 90 stopni otrzymujemy obrót o 180 stopni. W wyniku obrotu o 180 stopni wektor zmienia swój znak. Oto dlaczego i 2= -1.
Analogicznie z j i z k. Tajemnicza minus jedynka powstająca w wyniku podniesienia do kwadratu nabiera teraz przejrzystego sensu geometrycznego. Przestaje być tajemnicza! Staje się sympatyczna. Wyobraźmy sobie radość Clifforda gdy to odkrył! A jak szczęśliwy byłby Maxwell gdyby o tym wiedział!
Ale wiele jeszcze innych ciekawych obserwacji i odkryć przed nami. To dopiero początek.
