Maxwell i kwaterniony - Cz. 2 - blog Arkadiusz Jadczyk

Czemuż to Maxwell polubił kwaterniony? Polubił je dlatego, że kwaterniony w swej algebrze kodują podstawowe własności trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. A pola elektryczne i magnetyczne w tej właśnie przestrzeni żyją.

Z wektorem o składowych (a_x,a_y,a_z) wiąże Maxwell kwaternion

A = ia_x+ ja_y+ ka_z

podobnie z wektorem (b_x,b_y,b_z)

B = ib_x+ jb_y+ kb_z

Kwaterniony A i B są czysto urojone, nie mają części skalarnej. Gdy je jednak wymnożymy przez siebie, stosując reguły mnożenia kwaternionów, wtedy w iloczynie pojawi się zarówno część skalarna jak i część wektorowa:

AB = -(a_xb_x+ a_yb_y+ a_zb_z) + i(a_yb_z - b_ya_z) + j(a_zb_x - b_za_x)+ k(a_xb_y - b_xa_y)

Część skalarna Iloczynu AB to minus iloczyn skalarny wektorów a i b:

a.b = (a_xb_x+ a_yb_y+ a_zb_z)

Część wektorowa iloczynu AB odczytujemy jako zapis iloczynu wektorowego, oznaczanego dziś symbolem axb

axb =(a_yb_z - b_ya_z, a_zb_x - b_za_x, a_xb_y - b_xa_y)

Nie są to formuły zbyt skomplikowane, niemniej pozwalają na zwinięcie skomplikowanych wzorów do krótszej i bardziej przejrzystej formy. Część skalarną kwaternionu oznacza Maxwell literą S., część wektorową literą V. Tak więc pisze Maxwell:

S.AB = a_xb_x+ a_yb_y+ a_zb_z

V.AB = +i(a_yb_z - b_ya_z) +j(a_zb_x - b_za_x)+k(a_xb_y - b_xa_y)

Potrzebne są Maxwellowi operacje różniczkowania – pochodne cząstkowe po x,y, z. Wprowadza więc operator

$\nabla$ = id/dx +jd/dy+kd/dz

Symbolu pochodnej cząstkowej, używanego dziś, Maxwell jeszcze nie zna. Gdy b nie jest wektorem ale polem wektorowym b=b(x,y,z), wektorem zależnym od punktu przestrzeni, wtedy, stosując reguły mnożenia kwaternionów, otrzymujemy:

S. $\nabla$ b = db_x/dx +db_y/dy +db_z/dz

Dziś zapisujemy to jako diva. Z kolei część wektorowa to

V. $\nabla$ b =(db_z/dy- db_y/dz, db_z/dx - db_x/dz, db_y/dx – db_x/dy)

Dziś zapisujemy to jako rot b, lub jako $\nabla$ x b.

W swojej pierwszej głównej publikacji „A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, przedstawionej Królewskiemu Towarzystwu w Londynie 27-go października 1864 r i opublikowanej rok później w „Philosophical Transactions” Maxwell kwaternionów jeszcze nie używa. Rozpisuje więc wszystkie wzory na składniki wprowadzając dziesiątki liter symboli. Na przykład formułę na Siłę Magnetyczną zapisuje tak:

W wydanej po raz pierwszy w roku 1873 dwutomowej monografii „A Treatise on Electricity & Magnetism” tu i ówdzie już korzysta z kwaternionów i wygody zapisu przy ich pomocy. I tak dwa równania wiążące potencjał wektorowy A z indukcją magnetyczną B zapisuje jako:

Maxwell vector potencial

Te dwa równania to:

divA = 0

B =rot A

Operator Laplace'a

Biorąc czysto wektorowy kwaternion A i podnosząc go do kwadratu (stosując reguły mnożenia kwaternionów) otrzymujemy skalar:

A² = - ( a_x²+a_y²+a_z²)

Podnosząc do kwadratu operator nabla otrzymujemy operator Laplace'a – Laplasjan:

∇ ²= -Δ

Trzeba tu trochę uważać, bo dziś, nie używając kwaternionowego zapisu, definiujemy operator Laplace'a bez minusa:

Laplasjan

Gdzie indziej (jak u Maxwella) będzie po prawej stronie stał minus przed nawiasem. Nie należy się na to zżymać. Historia nie jest logiczna, rozwijała się jak mogła, pojawiały się w niej różne wątki. Dlatego zawsze należy zwracać uwagę na kontekst.