Kwaterniony – nazwa sugeruje, że powinny być cztery. A ile jest w istocie? To zależy jak liczyć. Są trzy tzw. Urojone: i,j,k. Reguły ich mnożenia są proste:
ij= k
jk= i
ki= j
i2= j2= k2= -1
Pojawił się zatem ten „czwarty”, to jedynka 1. Ten czwarty jest jednak innej natury niż te „urojone”. Dla urojonych ważna jest kolejność mnożenia:
ij= k ale ji = -k
jk = i ale kj = -i
ki = j ale ik = -j
Mówimy: i,j,k są ze sobą anty-przemienne.
Natomiast jedynka 1, czy dowolna inna liczba rzeczywista a, jest przemienna z każdym kwaternionem.
Ale co to jest kwaternion? Kwaternionem nazywamy dowolną kombinację złożoną z liczby rzeczywistej, powiedzmy a, oraz rzeczywistych wielokrotności podstawowych kwaternionów urojonych i,j, k.
q = a + bi+ cj+ dk
Tutaj q jest właśnie kwaternionem, a,b,c,d są liczbami rzeczywistymi. Liczba a nazywa się częścią rzeczywistą lub skalarną kwaternionu q, zaś reszta: bi+ cj+ dk nazywa się częścią urojoną, czasem częścią wektorową. Ponieważ liczby rzeczywiste są przemienne z każdym kwaternionem, kwaternion q możemy równie dobrze zapisać jako:
q = a + ib+ jc+ kd
A ponieważ dodawanie jest przemienne zawsze, także
q = dk + ib+ jc+ a
Wygodnie jednak trzymać się jednej konwencji organizacji zapisu podobnie jak wygodnie jest numerować domy na danej ulicy w jakiejś logicznej kolejności, a nie przypadkowo.
A jaki z tych kwaternionów pożytek? Posłuchajmy co miał na ten temat do powiedzenia James Clerk Maxwell. W swoim traktacie o elektryczności i magnetyzmie (Tom 1, str 10 ) („Treatise on Electricity & Magnetism”, Oxford 1873 lub 1891, nie ma znaczenia) pisze tak:
„But for many purposes in physical reasoning, as distinguished from calculation, it is desirable to avoid explicitly introducing the Cartesian coordinates, and to fix the mind at once on a point of space instead of its three coordinates, and on the magnitude and direction of a force instead of its three components. This mode of contemplating geometrical and physical quantities is more primitive and more natural than the other, although the ideas connected with it did not receive their full development till Hamilton made the next great step in dealing with space, by the invention of his Calculus of Quaternions.”
Maxwell oczywiście musi obliczać, przecież formułuje prawa ilościowe. Ale w obliczeniach można z łatwością zgubić sens fizyczny tego, co liczymy. Maxwell formułuje swe prawa używając współrzędnych kartezjańskich. Gdy trzeba – użyje sferycznego czy cylindrycznego układu współrzędnych. W elektromagnetyzmie mamy jednak sporo składowych pól i prądów – każdą trzeba jakoś nazwać, robi się z tego zamęt, sens fizyczny przestaje być widoczny. Dobrze to jakoś uporządkować, bo pewne zespoły symboli oznaczają jeden fizyczny obiekt, na przykład wektor siły. Rachunek wektorowy nie był w tym czasie znany tak jak to ma miejsce dzisiaj. Maxwellowi przyszedł tu na pomoc dość świeży Rachunek Kwaternionów Hamiltona.
„As the methods of Des Cartes are still the most familiar to students of science, and as they are really the most useful for purposes of calculation, we shall express all our results in the Cartesian form. I am convinced, however, that the introduction of the ideas, as distinguished from the operations and methods of Quaternions, will be of great use to us in the study of all parts of our subject, and especially in electrodynamics, where we have to deal with a number of physical quantities, the relations of which to each other can be expressed far more simply by a few words of Hamilton's, than by the ordinary equations.”
Tutaj Maxwell zdaje sobie sprawę z tego, że „studenci nauki” znają przede wszystkim rachunek na współrzędnych kartezjańskich. Niemniej zachęca tutaj do użycia kwaternionów, sczególnie w elektrodynamice (w przeciwieństwie od statyki). Kwaterniony, jak piszę, są użyteczne dla uproszczenia zapisu.
„One of the most important features of Hamilton's method is the division of quantities into Scalars and Vectors. A Scalar quantity is capable of being completely defined by a single numerical specification. Its numerical value does not in any way depend on the directions we assume for the coordinate axes. A Vector, or Directed quantity, requires for its definition three numerical specifications, and these may most simply be understood as having reference to the directions of the coordinate axes. Scalar quantities do not involve direction. The volume of a geometrical figure, the mass and the energy of a material body, the hydrostatical pressure at a point in a fluid, and the potential at a point in space, are examples of scalar quantities. A vector quantity has direction as well as magnitude, and is such that a reversal of its direction reverses its sign. The displacement of a point, represented by a straight line drawn from its original to its final position, may be taken as the typical vector quantity, from which indeed the name of Vector is derived.”
No tak, kwaternion ma część skalarną i część wektorową. O tym już pisałem. Skalar to liczba, która nie zależy od tego jak ustawimy osie współrzędnych. Na przykład długość wektora jest skalarem. Wektor natomiast jest wielkością skierowaną a jego składowe zależą od ustawienia osi układu współrzędnych. Wektor ma kierunek i wartość, gdy odwrócimy kierunek – zmienia się jego znak. Należy go sobie wyobrażać, pisze Maxwell, jako przesunięcie punktu wzdłuż prostej z położenia wyjściowego do końcowego.
The velocity of a body, its momentum, the force acting on it, an electric current, the magnetization of a particle of iron, are instances of vector quantities. There are physical quantities of another kind which are related to directions in space, but which are not vectors. Stresses and strains in solid bodies are examples of these, and the properties of bodies considered in the theory of elasticity and in the theory of double refraction. Quantities of this class require for their definition nine numerical specifications. They are expressed in the language of Quaternions by linear and vector functions of a vector.
Prędkość ciała, pisze Maxwell, jego pęd, działająca na ciało siła, prąd elektryczny, magnetyzacja cząstki żelaza, to przykłady wektorów. Są jednak inne wielkości fizyczne, związane z wektorami, ale które wektorami nie są. To dyskutowane w teorii elastyczności naprężenia i napięcia w ciałach stałych i w zagadnieniach podwójnej refrakcji. Te wymagają dziewięciu składowych [AJ: macierz o trzech wierszach i trzech kolumnach]. Te można wyrazić jako funkcje liniowe od kwaternionów. [AJ: w terminologii dzisiejszej – możemy wprowadzić „tensory” i „extensory”.]
„The addition of one vector quantity to another of the same kind is performed according to the rule given in Statics for the composition of forces. In fact, the proof which Poisson gives of the parallelogram of forces is applicable to the composition of any quantities such that a reversal of their sign is equivalent to turning them end for end. When we wish to denote a vector quantity by a single symbol, and to call attention to the fact that it is a vector, so that we must consider its direction as well as its magnitude, we shall denote it by a German capital letter, as .....”
No tak, jak dodawać wektory stosując metodę równoległoboku, o tym dziś wiemy ze szkoły. W czasach Maxwella była to jeszcze na tyle nowość, że przytaczał on nazwisko Poissona, który to dodawanie uzasadnił matematycznie.
In the calculus of Quaternions, the position of a point in space is defined by the vector drawn from a fixed point, called the origin, to that point. If at that point of space we have to consider any physical quantity whose value depends on the position of the point, that quantity is treated as a function of the vector drawn from the origin. The function may be itself either scalar or vector. The density of a body, its temperature, its hydrostatic pressure, the potential at a point, are examples of scalar functions. The resultant force at the point, the velocity of a fluid at that point, the velocity of rotation of an element of the fluid, and the couple producing rotation, are examples of vector functions.
W rachunku kwaternionów położenie punktu w przestrzeni zdefiniowane jest przez wektor wyrysowany z początku układu do tego punktu. Jeśli w tym punkcie mamy jakąś wielkość fizyczną, skalar (jak gęstość, temperatura, ciśnienie hydrostatyczne, potencjał w tym punkcie) lub wektor (siła w tym punkcie, prędkość cieczy, prędkość obrotu elementu cieczy, lub para sił powodująca obrót), wtedy mamy do czynienia z funkcjami od wektorów.
[AJ: Dziś zapisujemy to jako f(r) lub F(r). Maxwell jednak z wektorem o składowych X,Y,Z zwiąże kwaternion iX+jY+jZ. Pozwoli mu na to na zwięzły zapis pewnych formuł, formuł które zwięźle dają się zapisać i bez kwaternionów przy pomocy rachunku wektorowego. Ale porządnego rachunku wektorowego w tym czasie jeszcze nie było. Maxwell miał pod ręką tylko kwaterniony.]
Physical vector quantities may be divided into two classes, in one of which the quantity is defined with reference to a line, while in the other the quantity is defined with reference to an area. For instance, the resultant of an attractive force in any direction may be measured by finding the work which it would do on a body if the body were moved a short distance in that direction and dividing it by that short distance. Here the attractive force is defined with reference to a line. On the other hand, the flux of heat in any direction at any point of a solid body may be defined as the quantity of heat which crosses a small area drawn perpendicular to that direction divided by that area and by the time. Here the flux is defined with reference to an area.
Tutaj zaczyna się coś ciekawego i, jak się przekonamy w przyszłości, ważnego. Maxwell jest świadom tego, że są dwa rodzaje wielkości wektorowych. Jedne są definiowane w odniesieniu do linii, inne w odniesieniu do elementów powierzchni. Siła jest odniesiona do linii, bowiem wynikiem działania siły na pewnym odcinku jest praca. Siłę działającą znajdujemy dzieląć pracę wykonaną na danym odcinku przez wielkość przesunięcia. Mamy jednak także coś takiego jak „strumień ciepła” - a to jest ilość ciepła, które przeszło przez dany element powierzchni prostopadły do strumienia. Strumień [AJ: choć też ma trzy składowe, jak wektor siły] jest definiowany w odniesieniu do powerzchni.
Teraz mój komentarz: będę kontynuował ten temat. Uprzedzając jednak powiem tyle: Maxwell miał do dyspozycji kwaterniony Hamiltona i z nich nieco korzystał skracając niektóre formuły i tym samym czyniąc bardziej przejrzystym ich sens fizyczny. Kwaterniony były jednak kiepskim narzędziem do odróżnienia od siebie jednego rodzaju wektorów od drugiego rodzaju. Ta możliwość pojawiła się dopiero z wprowadzeniem tzw. Algebry Grassmanna i algebry Clifforda. Dziś prof. Bernard Jancewicz z Wrocławia robi to przy pomocy algebry Clifforda, wektorów, dwu-wektorów itd. Fizyka elektromagnetyzmu staje się w ten sposób o wiele przejrzystsza. Ale o tym dopiero w kolejnych notkach.
