W naszym życiu często analizujemy zjawiska. Dane zjawisko można analizować na wiele sposobów i pod różnymi kątami. Każdą rzecz można wziąć pod mikroskop, lecz można też wziąć pod teleskop. Możemy w ten sposób poznać różne aspekty analizowanych rzeczy i zjawisk. Może się przy tym okazać, że zarówno oglądając rzecz pod mikroskopem jak i patrząc na nią przez teleskop dostrzegamy podobne formy – jedynie przejawiające się w inny sposób. To właśnie ta nasza zdolność dostrzegania form leży, jak się wydaje, u podstaw naszego pojmowania rzeczywistości, naszej inteligencji.
Co to jest „forma”? Nie podejmuję się znalezienia prostej i zwięzłej odpowiedzi na to pytanie.
Sporo miejsca i czasu poświęciłem ostatnio na sznurki i struny, drgania i wibracje. Zaczęło się od nieszczęsnego sznura, który choć wije się jak należy, nie pasuje podobno do pewnych standardów dydaktyki. Ponieważ nie bardzo się przejmuję czyimiś standardami, wrócę do sznura.
Wywijając sznurkiem jak na obrazku możemy wygenerować fale stojące. Sznur, podobnie jak i struna, podobnie jak i powietrze w fujarce, ma swe mody drgań. Mody te charakteryzują się konkretnymi długościami fali i konkretnymi częstotliwościami drgań.
Jest moda podstawowa o najniższej częstotliwości, i są mody wyższe, każda o częstotliwości równej całkowitej wielokrotności częstotliwości mody podstawowej. Szarpnięta struna w gitarze drga zwykle z wieloma częstotliwościami na raz. Zwykle największą amplitudę ma moda podstawowa, ale towarzyszą jej inne mody, o mniejszych amplitudach. Każdy instrument muzyczny ma inny rozkład amplitud swoich drgań na mody – stąd też bierze się łatwo rozpoznawalna uchem charakterystyczna barwa dźwięku każdego instrumentu.
Ucho spełnia przy tym rolę teleskopu. Słuchamy dźwięku całej struny, nie analizujemy jej budowy mikroskopowej. A moglibyśmy. Gdybyśmy tak zrobili, schematycznie moglibyśmy strunę przedstawić jak na obrazku poniżej:
Molekuły oddziałują jedna z drugą siłami elastycznymi (poprzez wiązania chemiczne). Elementem podstawowym jest jedna masa na sprężynce. Patrząc jednak przez teleskop elementem podstawowym jest jedna moda. I w jednym i w drugim przypadku charakterystyczną właściwością elementu podstawowego jest jedna jedyna częstość drgań. Formalnie taki element podstawowy nosi nazwę oscylatora lub, bardziej fachowo, jest to oscylator harmoniczny.
Oscylator harmoniczny to jakby najprostszy ciekawy układ który można rozważać w ramach mechaniki Newtona. Układy nieciekawe to ciało spoczywające lub ciało poruszające się ruchem prostoliniowym i jednostajnym. To ciała na które nie działa żadna siła zewnętrzna. Gdy na ciało działa siła zewnętrzna, ciało zmienia nie tylko swe położenie ale i swą prędkość. Najprostsza siła zewnętrzna to siła której wielkość jest wprost proporcjonalna do odchylenia od położenia spoczynku i skierowana tak, by położenie pierwotne przywrócić – siła stabilizująca. W jednym wymiarze:
F(q) = -k q
Znak minus pokazuje, że siła F(q) działa w kierunku przeciwnym do wychylenia q. Współczynnik k mówi nam o wielkości reakcji na wychylenia, jest stałą materiałową charakterystyczną dla danego oscylatora.
Zwykle wychylenie oznacza się literką q (lub x). Powinienem był użyć jakiejś innej literki, na przykład u. A to po to, by nie sugerować iż wychylenie ma miejsce w „naszej przestrzeni”. Może to być bowiem zmiana ciśnienia, zmiana temperatury, zmiana gęstości, zmiana naszego nastroju. W jakiej przestrzeni leżą nasze nastroje? Trudno powiedzieć, w jakiejś „przestrzeni nastrojów”. Przestrzeni jest wiele i różną mogą mieć one liczbę wymiarów. My, na razie, ograniczmy się do przestrzeni o jednym wymiarze, gdzie położenie charakteryzowane jest jedną liczbą, umownie „q”.
Znając siłą możemy napisać równanie ruchu Newtona:
ma = -kq
Tutaj m jest „masą”, zaś a „przyśpieszeniem”
a = d2q/dt2
Masa to druga wielkość charakterystyczna związana z danym oscylatorem. Możemy równanie ruchu naszego oscylatora zapisać nieco prościej zauważając, że dla ruchu nie tyle są ważne k i m z osobna, ile iloraz k/m, który oznaczymy przez omega2:
d2q/dt2+ omega2q = 0
Tak wygląda równanie ruchu oscylatora wynikające z mechaniki Newtona. By znaleźć jego rozwiązanie wystarczy podać początkowe położenie q(0) i początkową prędkość dq/dt(0).
q(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
gdzie
A = q(0)
B = (dq/dt(0))/omega
Dość równań. Co oscylator robi? Oscyluje, tam i z powrotem. Oscyluje ze stałą częstotliwością. Omega to „częstość kołowa”. Częstotliwość, liczba wahnięć na sekundę, to omega/2 pi. Okres to 2 pi/omega. Częstotliwość jest stałą charakterystyczną dla danego oscylatora. Natomiast dany oscylator może oscylować z różną amplitudą. Ten sam oscylator, oscylujący z tą samą amplitudą, może jednak różnić się od drugiego identycznego fazą. Gdy jeden już wraca, drugi może dopiero zaczynać. Miast zapisywać nasze rozwiązanie w postaci jak wyżej, można je zapisać inaczej, w postaci jednej sinusoidy:
q(t) = C sin(omega t + delta)
Teraz stała C jest amplitudą zaś stała delta fazą w w chwili t=0. Wykres zależności wychylenia od czasu to zwykła, przesunięta w lewo lub w prawo, sinusoida.
Czas zająć się energią. Na energię oscylatora składa się energia kinetyczna i energia potencjalna. W samej rzeczy, tak jak to od czasów Hamiltona rozumiemy, podanie wyrażenia na energię jest ważniejsze od równań dynamiki Newtona. Bywa, że dynamika Newtona nie działa, ale działa inna, bardziej podstawowa metoda opisu dynamiki – tzw. metoda Hamiltona (jeszcze bardziej podstawową wydaje się być metoda Hamiltona-Jacobiego, ale to już jest temat na inną rozmowę). Wyjaśnię krótko o co chodzi. W mechanice Newtona podstawową wielkością jest siła (lub siły), a także masa. Ale co zrobić gdy chcemy opisać mechanikę fotonów? Co zrobić, gdy m=0? Mechanika Newtona bierze w łeb, także w swej poprawionej przez Einsteina, relatywistycznej postaci. Trzeba więc dynamikę sformułować jakoś inaczej, by pozbyć się w niej masy i, przy okazji, także i siły. Na pomoc przychodzi pojęcie pędu. Normalnie pęd definiujemy jako iloczyn masy i prędkości: p = mv. Ale czemu jakiś obiekt fizyczny nie może mieć pędu nie mając masy? Przyjmijmy więc, że to pęd jest wielkością podstawową charakteryzującą obiekt fizyczny w ruchu, masa zaś, jeśli się da o niej w ogóle mówić, jest wielkością wtórną.
Energia kinetyczna, często oznaczana literą T, to T = mv2/2, wyrażona przez pęd to:
T(p) = p2/2m
Dla oscylatora harmonicznego energia potencjalna V to
V(x) = kx2/2
Pełna energia, wyrażona przez pęd i przez położenie, oznaczana na cześć Hamiltona literką H, to
H(p,q) = p2/2m + kq2/2
Widać tu, że to właśnie w oscylatorze realizuje się piękna symetria pomiędzy położeniem i pędem. Energia jest sumą kwadratów pędu i położenia, no, ze współczynnikami, ale współczynniki być muszą, bo jednak pęd i położenie mieszkają w różnych, choć dualnych do siebie, przestrzeniach. Położenie mówi nam o aspekcie cząstkowym, gdzie obiekt jest. Pęd mówi nam o procesie, o tym jak obiekt pędzi. Ten właśnie ta dualizm przechodzi jakoś do mechaniki kwantowej, gdzie pojawia się w sposób dość jaskrawy, dualizm falowo-korpuskularny i związana z nim zasada nieoznaczoności.
Metoda Hamiltona polega wtedy na tym: podaj nam wyrażenie na energię, podaj nam Hamiltonian, tzn. funkcję H(p,q), a wtedy wszystko co się da rozwiązać, rozwiążę i niepotrzebne mi będą przy tym żadne „siły”. Jak jakieś siły będą komuś do czegoś potrzebne, to je wyliczę, ale mi one do niczego nie potrzebne. Siła to pojęcie do lamusa!
Mając Hamiltonian H(p,q) poprzez proste operacje różniczkowania, znane od czasów Newtona, dostajemy równania ruchu, równania Hamiltona(1805-1865)
dq/dt = dH(p,q)/dp
dp/dt = -dH(p,q)/dq
Uwaga: Po prawej stronie powinny być tzw. pochodne cząstkowe, ale ich pisanie jest nieco uciążliwe. Tego raczej nie uczą dziś w gimanzjach, ale przed wojną uczono tego w technikum budowlanym. Pamiętam jak w dzieciństwie z wypiekami studiowałem podręcznik z technikum mojego ojca! Edukacja ulega spłycaniu i to chyba w coraz większym tempie.
Stosując do oscylatora obliczamy z łatwością:
dH(p,q)/dp = p/m
-dH(p,q)/dq = -kq
i otrzymujemy równania
dq/dt = p/m
dp/dt = -kq
No i jaki z tego pożytek? Tak na pewno wielu zapyta. Otóż jest pożytek i to spory. Przestrzeń gdzie na jednej osi odłożone są położenia a na drugiej pędy nazywa się przestrzenią fazową. Obliczone z równań Hamiltona dq/dt i dp/dt dają dwie współrzędne wektora stycznego do trajektorii ruchu. W naszym przypadku, w punkcie (q,p) będzie to wektor o składowych (p/m, -kq). Rysując taki wektorek w każdym punkcie przestrzeni fazowej dostajemy pole wektorowe. Przyjmijmy k=1, Oto pola wektorowe (p/m,-q) dla m=1 oraz m=1/2:
Patrząc na te pola wektorowe, nie rozwiązując żadnych równań, od razu widzimy trajektorie ruchu. Położenie q oscyluje tam i z powrotem, pęd także oscyluje tam i z powrotem. W położeniu największego wychylenia pęd spada do zera, w położeniu przejścia przez stan bez wychylenia pęd jest największy. Czym mniejsza masa, tym bardziej eliptyczne stają się orbity w przestrzeni fazowej, co jest zrozumiałe, bowiem ze zmniejszaniem masy zmniejsza się proporcjonalnie pęd.
Z równań Hamiltona wynika łatwo zasada zachowania energii: na trajektoriach funkcja H(p,q) ma stała wartość. Można się o tym łatwo przekonać przez proste różniczkowanie:
dH(p,q)/dt = dH/dp dp/dt + dH/dq dq/dt = dq/dt dp/dt – dp/dt dq/dt = 0.
Stąd H(p(t),q(t)) = const.
Oto wykresy H(p,q) dla k=1 oraz m=1 i m=1/2 z naniesionymi przykładowymi trajektoriami:
Pierwszy to piękna obrotowa paraboloida – mogłaby służyć jako antena satelitarna. Drugi to paraboloida nieco ściśnięta. Ponieważ nasz oscylator musi się poruszać na stałej wysokości H (stała energia), nie ma wielkiego wyboru.
Ale tak prosto jest tylko w jednym wymiarze. Przy trzech wymiarach przestrzennych i przy więcej niż jednym ciele sprawy się komplikują. Energia jest wtedy tylko jedną z wielu wielkości zachowanych. Znalezienie ich wszystkich, poznanie ich geometrii, sprawdzenie czy znajomość wartości wielkości zachowanych wystarcza na jednoznaczne określenie trajektorii – to cała wielka i ciekawa dziedzina fizyki i matematyki układów dynamicznych. Są układy zachowujące się w miarę regularne, są układy stabilne, ale są i niestabilne, może pojawić się chaos etc. Nasz oscylator to najprzyzwoitszy układ pod słońcem!
Podmienienie równań Newtona równaniami Hamiltona ma także tę zaletę, że stosuje się nawet do fotonów (tzn. gdy myślimy o fotonach jako „obiektach” obdarzonych położeniem i pędem).
Dla fotonu mamy
H(p,q) = pc
gdzie c jest prędkością światła. Z równań Hamiltona dostajemy:
dq/dt = c
dp/dt =0
Czyli: prędkość jest stała, w kierunku wektora pędu, i wynosi c. Pęd jest stały. (Uprościłem tu trochę, bo potraktowałem foton jednowymiarowo).
Wszystko pięknie ładnie, ale tuż tuż, za drzwiami, czai się coś co nieco zaburzy ale i urozmaici krajobraz – to kwant działania.
