Mamy spin, mamy pole magnetyczne, mamy hipotetyczną precesję Larmora. Mamy też detektor. Wyciągamy je wszystkie z pudełek, rozpakowujemy. Czas ustawić na stole i zabawki wypróbować w działaniu. Motywację i jednocześnie ostrzeżenia znajdziemy u Lukrecjusza, w traktacie O NATURZE WSZECHRZECZY:
I czas nie istnieje sam przez się, lecz z rzeczy kolejności
Bierze się w nas świadomość, że to ma teraz trwanie,
To już było, a tamto się po tem dopiero stanie.
Nie da się czas nam odczuć sam przez się w oderwaniu
Od rzeczy będących w ruchu lub w błogiem spoczywaniu.
Ale uwaga, bowiem:
Wiele podobnych dziwów i złudnych spotkasz przeżyć,
Które ci łatwo każą w świadectwo zmysłów nie wierzyć.
Próżno. Bo prawie zawsze wynika cała szkoda
Z winy domniemań umysłu, które do wrażeń dodasz,
Twierdząc żeś widział to, czegoś wcale nie widział w istocie.
Trudno bo, bardzo trudno niemylnej prawdy dociec,
Odróżnić jawność zmysłów od ducha dopowiedzeń.
Cybernetyk narysowałby szkic naszego układu doświadczalnego jakoś tak:
Zauważmy, że nie umieściłem nigdzie eksperymentatora, który układ projektuje i dane z eksperymentu interpretuje. Nie ma więc tu „świadomości”. Nie oznacza to, że uważam świadomość za coś podrzędnego. Jednak świadomość nie jest koniecznym elementem opisu działania tej konkretnej zabawki.
Detektor ma trzy pokrętła. Jedno reguluje ustawienie przestrzenne detektora n, drugie wartość efektywności detektora kappa. Trzecie pokrętło reguluje dobroć q. Detektor może być w dwu możliwych stanach: 0 lub 1. Na początku doświadczenia ustawiamy stan 0. Gdy, w pewnej chwil t detektor przechodzi w stan 1, komputer rejestruje wartość t i resetuje detektor do stanu 0.
Spin-wektor to słupek |chi(t)> dwóch liczb zespolonych lub, dla wygody programisty, czterech liczb rzeczywistych X,Y,Z,W. Te będą zmieniać się w czasie – w sposób ciągły i w sposób skokowy.
Czas przejść do opisu ilościowego. Tak, by Programista mógł przeprowadzić Symulację. Do tego będzie potrzebny także generator liczb losowych. To krok pierwszy
Wygeneruj liczbę losową z przedziału (0,1).
Po wygenerowaniu liczby losowej uruchamiamy czas.
„I czas nie istnieje sam przez się, lecz z rzeczy kolejności...”
Czas uruchomić można na dwa sposoby. Bowiem musimy rozwiązać zmodyfikowane, zależne od czasu równanie Schrödingera. Możemy je rozwiązywać numerycznie, małymi kroczkami – to jeden sposób, uciążliwy, obarczony kumulującym się błędem, ale niezawodny. Jednak w naszym przypadku równanie, które mamy rozwiązać jest tak proste, że rozwiązać je można w sposób jawny, na papierze. Potrzebna jest do tego znajomość algebry macierzowej. Jako, że jest to trochę wyższa szkoła jazdy, równanie najpierw opiszę a następnie jego jawne rozwiązanie przedstawię.
Więc najpierw – równanie.
Gdy nie ma detektora – równanie jest takie jak u Kryszewskiego:
gdzie
H = (h omega/2) sigma3.
|chi(t)> = [z1(t);z2(t)].
Po pomnożeniu obu stron równania S przez -i, i podzieleniu przez h mamy
d |chi(t)>/dt = (-i omega/2)sigma3 |chi(t)>
Ale u nas jest detektor D:
D = kappa (I + q n.sigma).
Uwaga: Tu jest BŁĄD. Zrobiłem BŁĄD!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Poprawaiam teraz!!!!!!!!!!!!!!!!!
Jak poprawię, to zmienię!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Obecność detektora modyfikuje równanie równanie Schrödingera: Zmodyfikowane obecnością detektora równanie wygląda tak:
ih d |chi(t)>/dt = (H- i D) |chi(t)>
Lub, pomnożywszy obie strony przez -i,
d |chi(t)>/dt = (-iH/h – D/h) |ch(t)>
Macierz (-iH – D) możemy zapisać w sposób jawny. Aby to zrobić, musimy wybrać jakieś przestrzenne ustawienie detektora, czyli wektorn. Moglibyśmy także robić to dla ogólnego wektora n, jednak na początek wybierzmy ustawienie konkretne, w miarę proste. Ustawmy detektor na równiku. Niechaj mierzy spinu w dodatnim kierunku osi x. Zatem wybieramy n = (1,0,0). Czyli
D = kappa (I + q sigma1)
W naszym równaniu występuje, po prawej stronie D/h. Wprowadźmy więc zamiast kappa, parametr k = kappa/h – łatwiejszy będzie zapis. Teraz operator-macierz
Q = -iH/h – D/h
to
Q = [-k – i omega0/2, -k q; - k q, -k + i omega/2]
Nasze zmodyfikowane równanie S to:
d [z1(t);z2(t)]/dt = Q [z1(t);z2(t)]
Czy programista może to równanie rozwiązać? I owszem, z mała pomocą. Pomoc pierwsza, od kogoś oblatanego w tych rzeczach, to, że każde takie równanie ma rozwiązanie dające się zapisać od ręki:
[z1(t),z2(t)] = exp(Qt) [z1(0),z2(0)]
Trzeba tylko obliczyć to nieszczęsne exp(Qt). Teraz programista rozgląda się chytrze wokół by dobrać się do jakiegoś gotowego oprogramowania, które inteligentnie wylicza funkcję wykładniczą z macierzy. Nie będę tu podpowiadał. Może kolega takie ma, a może i sieć coś oferuje. Można też policzyć na piechotę – wartości własne, wektory własne, diagonalizacja – dzień liczenia. Albo skorzystać z ogólnych wzorów, trzeba je tylko dopasować do konkretnego zagadnienia. Inteligentny program wypluwa wynik bez zająknienia, natychmiast po naciśnięciu „Enter”. Wynik ten, wypluty przez komputer, wygląda tak:
Kliknij na obrazek, by go powiększyć i zobaczyć detale.
Co rzuca się w oczy? Po pierwsze exp(-kt) można wyciągnąć przed macierz. Podobnie mianownik, ten z pierwiastkiem kwadratowym.
Ten pierwiastek kwadratowy to chytra sztuka. Bowiem wielkość pod pierwiastkiem kwadratowym może być zarówno dodatnia jak i ujemna, zależnie od wartości parametrów k,q,omega. Mamy więc dwie jakościowo różne sytuacje – dwa „reżimy”. Który z tych dwóch reżimów nas bardziej interesuje? Popatrzmy, gdy detektor ma efektywność zero, gdy śpi, czyli gdy k=0, wtedy pod pierwiastek mamy wielkość ujemną. Wtedy też spin podobno ulega precesji, mamy oscylacje. Nie chcemy brutalnie, poprzez obudzenie detektora, tych oscylacji przerwać. Wręcz przeciwnie, chcemy je delikatnie, przez dziurkę od klucza, obserwować. Zatemk orazq muszą być nie za duże, tak by4k2q2– omega2 było nadal ujemne. Zatem zmienimy znak wyrażenia pod pierwiastkiem, zaś przed pierwiastkiem napiszemy pierwiastek z minus jedynki, czyli urojone i. Program za nas tego nie zrobi, bo program nie wiem o co nam chodzi.
Uwaga: w tych formułach jest BŁĄD. Zrobiłem BŁĄD!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Poprawaiam teraz!!!!!!!!!!!!!!!!!
Jak poprawię, to zmienię!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Będę kontynuował w następnym odcinku. Chcę dać programiście czas na odsapnięcie. Teraz tylko: o co będzie chodzić w tym całym doświadczeniu myślowo-komputerowym?
Programista wystartuje z początkowego [z1(0),z2(0)], gdzieś, powiedzmy, na równiku. Powiedzmy, że wylosował był liczbę losową r. Patrząc na normę słupka ||[z1(t);z2(t)]|| - będzie ona monotonicznie malała z czasem. Trzeba wyczaić moment gdy norma spadnie poniżej wylosowanej liczby r. Innymi słowy programista będzie musiałnumerycznierozwiązać równanie ||[z1(t);z2(t)]||2 = r ze względu na t. Rozwiązanie t1 tego równania – to czas w którym detektor zmienił stan z 0 na 1. Zapisujemy t1 do pliku. Tearz następuje redukcja wektora stanu [z1(t1),z2(t1)] – o tym jak programista redukuje wektor stanu - pisałem. Stan po redukcji to nowy stan początkowy. Nowa liczba losowa, itd. Czyli jedziemy w pętli i rejestrujemy ciąg czasowy (t1,t2,t3,t4,......).
Jeśli nie mamy nic lepszego do roboty, możemy też na sferze malować hipotetyczną trajektorię wektora spinu. Ale doświadczalnik obserwuje tylko ciąg (t1,t2,t3,t4,......).
Gdy już będziemy mieć ze 100 tysięcy rejestracji, poddamy ten ciąg analizie statystycznej. Czy z ciągu tego można na przykład odczytać częstość omega hipotetycznej precesji Larmora? Jak ta czytelność będzie zależeć od wartości parametrów detektora?
Kupa roboty. Pocieszeniem i podporą może być to, że nikt tego dotąd nie zrobił. A wydawało by się, że wszystko co proste już dawno w fizyce zostało zrobione....
I dalej w przyszłości możemy dodać trochę więcej kamer-detektorów. Możemy nawet pokusić się o ustawienie detektora w każdym z kierunków n. Zadanie ambitne, choć póki co tylko wielce teoretyczne. I tu tichy sporo mi pomógł, bowiem nie było jasne jak numerycznie losować detektory, gdy są rozłożone równomiernie na sferze. Jest to projekt badawczy na przyszłość.
Mam jeszcze w głowie taki projekt badawczy – mniej ambitny i mnie abstrakcyjny. Mogący nawet mieć zastosowania militarne. Otóż mamy dwie konkurujące ze sobą teorie: teorię de Broglie'a – Bohma fali pilota i teorię, która tu przedstawiam. Pierwsza jest znana, druga nie. No, przesadzam, od czasu do czasu ktoś sobie coś z niej „pożycza” nie zostawiając kwitu. Zresztą kwity mi niepotrzebne. Ponadto i ja sporo wziąłem od innych, tyle, że kwity zawsze starałem się zostawiać.
Czy te dwie teorie dają różne, doświadczalnie weryfikowalne przewidywania? Trzeba by to sprawdzić. Jak? Potrzebne są do tego dwa spiny i dwa detektory. Jeden detektor sprzężony z jednym spinem, drugi z drugim. Mamy pole magnetyczne, precesję Larmora – tak jak wyżej, tyle, że spiny są dwa. Otrzymujemy statystykę szeregów czasowych z dwóch detektorów. A teraz dodajemy szpiega – trzeci detektor. Według teorii de Broglie'a-Bohma detektory odgrywają rolę czysto pasywną. Dodanie detektora nie powinno wpłynąć na statystykę obserwacji dwóch detektorów, powiedzmy Alicji i Boba. A w mojej teorii detektor jest aktywny. Czy zatem Alicja i Bob mogą wykryć obecność szpiega? Czy włączenie trzeciego detektora wprowadzi zmiany w obserwowanej przez Boba i Alicję statystyce? Nie sposób na to pytanie odpowiedzieć bez przeprowadzenia symulacji.
A oto schemat tego eksperymentu – tak jak go sobie wyobrażam:
