Co robi spin, gdy w pobliżu nie ma żadnego detektora, gdy nikt ani nic nie patrzy, gdy nikt ani nic nie widzi? Można by odpowiedzieć: „nie wiemy” . Można by odpowiedzieć „nie sposób wiedzieć”. A jednak. A jednak mamy filozofię i mamy teorie fizyczne. To przy pomocy filozofii i przy pomocy teorii wypełniamy tego rodzaju luki. Wierzymy, że spin „jest”, wierzymy, że „coś robi”, że to coś jest opisywalne jakościowo w języku pojęć, które są nam znane, zaś ilościowo poprzez matematycznie wyrażalne prawa fizyki. Napisałem „wierzymy”, ale nie jest to tak całkiem. Jedni w istocie wierzą, inni, i ja do nich należę, wszystko traktują jako „hipotezy robocze”, włączając w to najbardziej uświęcone i „sprawdzone Prawa Przyrody”. I tak właśnie zamierzam przedstawić precesję Larmora - jako dobrze ugruntowaną hipotezę roboczą, w sposób będący prostą adaptacją materiału podręcznikowego. Pokażę m.in. parę formuł z kursu Kryszewskiego, dopasuję tylko oznaczenia i nieco inaczej przedstawię, bo tak mi drodze.
Ale, powtarzam, precesja Larmora (patrz np. VIII.2 tutaj) elementarnego spinu zachodzi wtedy, gdy nikt i nic spinu nie obserwuje, więc jest to jedynie obraz teoretyczny. Faktu tego nikt w kursie mechaniki kwantowej nie podkreśla. Student powinien wierzyć, ze ucząc się o tej precesji uczy się o faktach. Z takim poczuciem znakomita większość studentów wychodzi po kursie mechaniki kwantowej. Dla mnie zaś fakty to jedno a hipotezy robocze to drugie. Gatunki zgoła odmienne.
Zatem do kursu – tak jak to jest w uczonych podręcznikach.
Jest sobie spin. Jest wektor stanu tego spinu, słupek [z1;z2]. Kryszewski zamiast z-tów będzie używał greckich chi. Mi poręczniej pisać z. Spin to maleńki magnesik. Ma swoje słabiutkie pole magnetyczne. To pole nas nie interesuje. Interesuje nas natomiast co ten magnesik będzie robił w zewnętrznym polu magnetycznym, polu pochodzącym z dużego, porządnego, laboratoryjnego magnesu, takiego, który można wziąć w rękę, zorientować jak trzeba, zamocować. Dla wygody ustawimy ten magnes tak, by wektor Bjego pola magnetycznego skierowany był pionowo w górę, wzdłuż osi z.
Wtedy nasz wektor stanu spinu, według kursu mechaniki kwantowej, będzie „czuł” to zewnętrzne pole magnetyczne i będzie się zmieniał z czasie. Słupek [z1;z2] zacznie zależeć od czasu t. Cały słupek nazwijmy, używając szeroko stosowanej w mechanice kwantowej notacji Diraca, symbole |chi>. Przy włączonym polu zewnętrznym nasz słupek zaczyna zależeć od czasu
|chi(t)> =[z1(t);z2(t)].
A jak będzie zależeć od czasu? Od tego w mechanice kwantowej jest tzw. równanie Schrodingera. Według liturgii mechaniki kwantowej najpierw należy zbudować „operator Hamiltona” - Hamiltonian. Jest to, w przypadku naszego spinu, macierz o dwóch wierszach i dwóch kolumnach. Nie będę podawał ogólnych recept jak się Hamiltonian buduje – nie będzie nam to potrzebne, Wystarczy, że dla pola magnetycznego B skierowanego w kierunku osi z ten Hamiltonian, oznaczany literką H, dany jest wzorem
H = (h omega0/2) [1;0;0,-1]
Tutaj h to stała Plancka, zaś omega0 wyraża się przez pole magnetyczne B formułą (biorę z Kryszewskiego 36.6)
On tam ma B0 zamiast naszego B. Jest jeszcze g – w naszym przypadku możemy wziąć g=2 (tak jest, w przybliżeniu, dla spinu elektronu). Stała |e| - to elementarny ładunek elektryczny, stała me – to masa elektronu. By ułatwić sobie zapis, w dalszym ciągu będę pisał omega zamiast omega0. Mamy więc nasz Hamiltonian. Teraz przychodzi równanie Schrödingera. U Kryszewskiego jest to formuła (36.9)
Już widać, że stała Plancka po obu stronach się uprości – nie będzie dalej występować! Dziwne, ale prawdziwe. Zazwyczaj w zjawiskach kwantowych występuje stała Plancka. A tu nagle znika. Magia jakaś. Co się za tym kryje? Czy spin ma jedynie coś wspólnego z elektrycznością a z kwantowością nic? No może także z grawitacją, której tu nie bierzemy pod uwagę. Hudley, którego niedawno cytowałem, tak właśnie sugeruje (mianowicie, że spin związany jest z mikro-tunelami, mikro-mostami Einsteina-Rosena, pomiędzy naszym światem a światem innym, światem w którym „czas płynie w przeciwnym kierunku”).. Ale zostawmy te spekulacje na boku i wróćmy do materiału kursowego.
Równaniem Schrödingera nie powinniśmy się przerażać. Można je od ręki rozwiązać i napisać gotowe rozwiązanie – zależność od czasu wektora stanu |chi(t)> dana u Kryszewskiego formuła (36.49)
Dopisałem tu (na czerwono) brakujące urojone „i”, których Kryszewski zapomniał napisać.
Formułka ta może się wydać nieco skomplikowana, zapiszmy więc jak trzeba nasz zależny od czasu słupek, zakładając, że w chwili t=0 wystartowaliśmy z |chi> = [z1;z2]. Po czasie t wektor stanu |chi(t)> dany będzie przez:
|chi(t)> = [cos(omega t/2) – i sin(omega t/2)z1;cos(omega t/2) z2 – i sin(omega t/2)z2].
Wygląda to wciąż kiepsko, nieco abrakadabroidalnie, nawet jak dla programisty. Musimy tą formułkę rozszyfrować, przetłumaczyć na coś pojmowalnego dla zwykłego śmiertelnika, nie gubiąc przy tym niczego. Gdybym bowiem coś zgubił, Eine by mnie natychmiast napadł. Nie mogę sobie jednak odmówić pogrania Einemu trochę na nerwach. Raz się bowiem był przyznał, że przejście od liczb zespolonych do rzeczywistych „działa mu na nerwy”. Przy braku detektora (detektory pojawią się dopiero w kolejnych notkach) podziałam więc na nerwy Einego.
Z1 i z2 to liczby zespolone. Można więc je zapisać jako
z1 = X+ iY
z2 = Z+ iW
Zamiast więc pary liczb zespolonych możemy rozpatrywać czwórkę liczb rzeczywistych. Zakładając, że wystartowaliśmy od czwórki X,Y,Z,W, po czasie t, jak łatwo można się przekonać prostym rachunkiem, otrzymamy X(t),Y(t),Z(t),W(t) dane przez
X(t) = cos(omega0 t/2) X - sin(omega0 t/2)Y
Y(t) = cos(omega0 t/2) Y + sin(omega0 t/2) X
Z(t) = cos(omega0 t/2) Z + sin(omega0 t/2) W
W(t) = cos(omega0 t/2) W – sin(omega0 t/2) Z
To już programista nawet by i zaprogramował, tylko jak to narysować?
Musimy wrócić do kół Villarceau i torusów. Pamiętacie Spin od środka i notki w pobliżu? Przypomnę, że mając czwórkę liczb rzeczywistych X,Y,Z,W, których kwadraty dodają się do jedynki (warunek „unormowania), możemy te liczby przedstawić przy pomocy trzech katów: phi, theta, psi:
X = cos(phi/2)cos(psi)
Y = cos(phi/2)sin(psi)
Z = sin(phi/2) cos(psi+theta)
W = sin(phi/2) sin(psi+theta)
No więc przedstawmy. Uruchomimy czas i spróbujemy pokombinować jak te kąty reprezentujące nasz wektor stanu zmieniają się w czasie. Trochę tu zabawy w trygonometrię, wzory na sinusy i cosinusy sumy i różnicy kątów – zabawa na poziomie przedwojennego gimnazjum. Pominę tą zabawę (no, chyba, że Janusz z Gorzowa będzie chciał to sobie odtworzyć, wtedy opiszę drogę pośrednią.). Podam tylko wynik tej zabawy:
phi(t) = phi(0) = const. (stałe w czasie),
theta(t) = theta(0)-omega t,
psi(t) = psi(0)+omega t/2.
Zostaje teraz sama frajda – namalować, może zaanimować, zinterpretować, skomentować.
Pamiętajmy wszak – póki co rozmawiamy o rzeczach wyimaginowanych, których nikt nie widzi – bo nie ma jeszcze żadnego detektora. Jest to więc, póki co – czysta sztuka. Bodaj 90% podręczników mechaniki kwantowej to taka czysta sztuka. No, może nie tak kolorowa jak ta moja. Fakt, że w oparciu o tą sztukę budujemy urządzenia i urządzenia te z reguły działają. Zatem „coś w yum jest”. Ale czy dokładnie to, co sobie wyobrażamy? Niekoniecznie. Ileż to bowiem razy w historii mieliśmy przykłady skutecznego działania opartego na wyobrażeniach dziecinnych czy zabobonach?
Pozbądźmy się najpierw, dla uproszczenia tego omega. Nazywa się je częstością Larmora. Dla elektronu i dla magnesu z polem 1 Tesla jest to mniej więcej 100 Ghz. Dobierzmy naszą jednostkę czasu tak, by omega było równe 1. Co widzimy? Kąt phi to szerokość geograficzna. Ta jest stała. Kąt theta – to długość geograficzna. Ta się zmienia:
theta(t) = theta(0) – t
To jest właśnie precesja. Mamy wszak też kąt psi – niewidzialną fazę wektora stanu. Czemuż by i jej nie namalować? W końcu wszystko jest niewidzialne gdy nikt i nic nie obserwuje. Nie obserwujemy też tego ładnego obrazka z Wikipedii, więc czemu mamy sobie nie użyć i nie namalować wszystkiego? Z mojej notki o kołach Vilarceau wiemy jak malować – przez rzut stereograficzny z czterech na trzy wymiary.
Jako, że w czasie precesji szerokość geograficzna jest stała, ruch będzie odbywał się na torusie. Możemy na tym torusie, dla orientacji, namalować koła Vilarceau – gdy zmienia się psi, zaś theta i phi są stałe. I na tym tle możemy narysować trajektorię naszego bąka. Wygląda to tak:
Trajektoria wektora stanu spinu w kolorze zielonym.
Uwaga: Oczywiście taką trajektorię można zacząć rysować z dowolnego punktu dowolnego z torusów o stałej szerokości geograficznej phi. Narysowałem tu jedną, przykładową. Inne będą wygladać podobnie.
W następnej notce zaczniemy modelować nie to, co niewidzialne a to, co widzialne. Jak obecność detektora wpływa na trajektorię, to jest wciąż niewidzialne – to teoria. Ale także jak się zachowuje detektor – ten widzialny.
