W notce „Spin doktor” wprowadziłem na scenę detektor. Ale tylko wprowadziłem, zagrać roli mu jeszcze nie dałem. Napisałem:
Każdy operator dodatni D (w przypadku naszego spinu ½) da się w jeden i tylko jeden sposób zapisać w postaci:
D = kappa (I + q n.sigma)
gdzie kappa jest liczbą dodatnią, q jest liczba z przedziału [0,1], n = (n1,n2,n3) – wektorem jednostkowym na sferze, zaś n.sigmajest iloczynem skalarnym: n1 sigma1 + n2 sigma2 + n3 sigma3.
Liczbę kappa (na cześć KAP-a) będę nazywał efektywnością detektora, zaś liczbę q (na cześć elektrotechnika) będę nazywałdobrocią detektora. Nasz detektor wykrywa spin w kierunku n z efektywnością kappa i dobrocią q.
Póki co zostawmy na boku kappę. Choć zarówno kappa jak i alpha są „stałymi” (a stałe, jak to stałe, wiemy to z życia, od czasu do czasu mogą się zmieniać), to stała stałej nierówno. Stała q jest stałą niemianowaną – ot czysta liczba, zapewne jakiś iloraz. Stała kappa, jak się później okaże, jest stałą mianowaną, ma „wymiar fizyczny” 1/czas, można więc ją interpretować jako jakąś częstotliwość. Matematycy czasem nie odróżniają stałych mianowanych od stałych niemianowanych. Fizyk jednak na taki brak rozróżniania pozwolić sobie nie może. Gdy stała jest stałą mianowaną, to zapewne ma związek z jakimiś procesami zachodzącymi w Przyrodzie, a nie tylko w świecie Platońskich liczb i figur. Stała kappa to sprawa poważna, dlatego odłóżmy ją na razie na bok. Zajmijmy się najpierw tym, co detektor robi, a nie tym jak często to robi albo i nie robi.
Cóż, nasz najprostszy detektor produkuje na wyjściu jeden bit informacji. Gdy w pobliżu jest inny detektor (na przykład świadomy, ludzki obserwator), wtedy ten bit może zostać odczytany w pewnym kontekście i może zostać zinterpretowany w tymże kontekście. Nie będziemy się tym łańcuszkiem zajmować. Pozostaniemy przy tym jednym bicie. Detektor komunikuje: coś mnie tknęło. Jeśli przedtem detektor był w stanie 0, w wyniku tknięcia przez coś, przeszedł w stan 1. Mamy teraz dwie możliwości: detektor może się automatycznie zresetować do stanu 0 i być gotowym do rejestracji następnego tknięcia, ale może też stać się niezdolnym do rejestracji następnych tknięć (jak to jest z ziarnem na kliszy lub komórką CCD w aparacie cyfrowym) . Jest też wiele możliwości pośrednich.
Tym czymś, co detektor „tyka” jest, w moim modelu, funkcja falowa. Nazywamy ją też często „wektorem stanu”. Funkcja falowa detektor denerwuje, denerwuje, aż go zdenerwuje do tego stopnia, że detektor zmienia swój stan – z 0 na 1. Stała kappa decyduje o tym jak długo detektor pozwala się denerwować. Stała q decyduje o tym jak daleko detektor widzi funkcję falową. Z tym, że ta odległość nie musi być odległością w naszej trójwymiarowej przestrzeni. Czasem nią i jest, jak w przypadku kliszy fotograficznej, ale dla spinu będzie to inna przestrzeń - przestrzeń stanów spinowych, zatem przestrzeń kierunków. W innych przypadkach może to być przestrzeń pędów, przestrzeń energii itd itp.
Detektor na denerwowanie przez funkcję falową nie jest też obojętny. Jak słusznie zauważył Atej w komentarzu do poprzedniej notki Elektrony, protony, neurony– powinniśmy oczekiwać sprzężenia zwrotnego(tak, tak kłania się tu cybernetyka i teoria systemów) choćby w następującej formie: skoro funkcja falowa detektor denerwuje, to sama nie może pozostać bez zmiany – ten wysiłek ją powoli zjada. I tak też będzie w przedstawianym przeze mnie modelu. W samej rzeczy stopień zdenerwowania detektora mierzymy stopniem „bycia zjedzoną” funkcji falowej.
Wszystko to będzie wkrótce jasne w detalach.
Gdy detektor wreszcie nie wytrzymuje i „strzela”, 0 przechodzi w 1, wtedy chwyta funkcję falową za gardło i ją „redukuje”. W braku lepszego modelu ten proces redukcji opisujemy jako „skok kwantowy”, zachodzący „w jednej chwili”. Atej słusznie będzie się zżymał, że w jednej chwili nic nie zachodzi, no może nie tak znów nic, bo ta chwila zachodzi. Ponieważ nie wiemy co to są te chwile, zatem, póki co, lepszy wróbel w garści niż kanarek na dachu. W przyszłości mam zamiar poleźć za kanarkiem na dach, ale to w przyszłości a nie dzisiaj.
Zajmiemy się dziś właśnie redukcją wektora stanu. Na czym ona konkretnie polega? Otóż detektor jest reprezentowany formalnie, w naszym modelu ilościowym, przez macierz-operator. Operator, jak sama nazwa wskazuje, operuje,operuje właśnie na wektorach stanu. Wygląda to, w szczegółach, tak: oznaczmy wektor stanu literkąψ. W naszym przypadkuψto słupek dwóch liczb zespolonych [z1;z2]. Wektor stanu będzie, w ogólności, zmieniał się z czasem. Mamy więc funkcjęψ(t). Ale tą zmianę w czasie na razie odkładamy na bok. Gdy nadchodzi czas redukcji, i gdy wektorem stanu jest akuratψ, wtedy sama redukcja to przejście zψdo Dψ. No nie całkiem, ale o tym za chwilę, bowiem najpierw musimy zahaczyć (jakże by inaczej) o .... teologię. Pojawia się bowiem pytanie: skąd wziął się nasz wektor stanu? Dwie spośród wielu możliwych odpowiedzi to: „został stworzony przez Boga” lub „powstał w wyniku uprzedniej redukcji przez jakiś inny detektor”. Inna możliwość to: „powstał przy udziale czyjejś świadomości.” Jako, że ani ontologią ani teologią zajmować się tu nie zamierzam, nie zaproponuję tu żadnego rozwiązania. Najwygodniej będzie przyjąć prowizorycznie to „powstał w wyniku uprzedniej redukcji przez jakiś inny detektor”. Może to dotyczyć także wektora stanu całego Wszechświata – tego typu rozważania prowadzą nas jednak do tzw. kwantowej kosmologii wraz z jej pułapkami. Gwoli bezpieczeństwa wole zostać, póki co, przy spinie, no, może także przy protonach i ich śladach na kliszach. Ale nie dalej.
Otóż każdy detektor, gdy redukuje wektor stanu, wypluwa wektor stanu unormowany. Zatem, dla naszego słupka, ma być
||ψ||2 = z1z1* + z2z2* = 1.
Ale nawet jeśli ψ w chwili redukcji byłby unormowany (a zobaczymy później, że tak nie jest), Dψ unormowanym już nie będzie. Trzeba go zatem unormować. Jeśli zwykły wektor ma długość 2, to biorąc jego połówkę otrzymamy wektor o długości 1, nieprawdaż? I tak to jest też z wektorem stanu. Redukcja wektora stanu, oznaczmy ją literką R, to operacja
R(ψ) = (Dψ)/||Dψ||.
W mianowniku mamy operację liniową. Jednak dzielenie przez długość wprowadza nieliniowość. Zatem operacja R, operacja redukcji wektora stanu, jest operacją nieliniową.
A jak to zapisze Programista?
Ale zaraz, zaraz. Już widzę jak w matematyku duch się wzburza, jak zawsze gdy widzie dzielenie. Zapyta bowiem matematyk ze złośliwym uśmieszkiem: „a co jak ||Dψ||=0?” Przecież przez zero dzielićnie wolno. Ano zgoda, nie wolno. Pozostawiam matematykowi jako ćwiczenie wykazanie, że gdy q jest mniejsze od jedynki, to ||Dψ|| jest różne od zera, chyba, że samoψjest zerem.
Wynika stąd ciekawa nauka: ponieważ wygląda na to, że przyroda boi się dzielenia przez zero, to boi się ona również detektorów idealnych, o dobroci równej 1! A takimi właśnie „idealnymi” detektorami zajmowali się szacowni ojcowie kwantowej teorii pomiaru z von Neumannem na czele. Nic dziwnego, że do niczego użytecznego nie doszli.
Zostawiam zatem matematyka z jego, nietrudnym zresztą, zadaniem, wracam do Programisty. Nasz detektor to „detektor spinu w kierunkun:”
D = I + qn.sigma
Odpuszczam tu, na razie, kappę. Macierz I to
I = [1,0;0,1]
Macierze sigma też znamy. Zostaje to wszystko wymnożyć i dodać. Wynik, jeśli się nie pomyliłem w rachunkach (sprawdźcie), jest następujący:
D = [1+qn3,q(n1-in2);q(n1+in2),1-qn3]
Nasz operator działa teraz na słupekψ = [z1;z2] jak Bóg przykazał i ja przykazała Wikipedia – metodą mnożenia wektora przez macierz:
Dψ = [u1;u2],
gdzie
u1 = ( 1+qn3)z1+q(n1-in2)z2
u2= q(n1+in2)z1+(1-qn3)z2
Teraz trzeba już tylko wyliczyć
||Dψ|| =√ (u1u1*+u2u2*)
i słupek [u1;u2] podzielić przez tą liczbę by dostać wynik redukcji R(ψ).
Dla nie-programisty wyglądać to może przerażająco. I dla mnie by tak było, gdyby nie .... gdyby nie wiedza. Tą wiedzą się teraz z Wami podzielę i przerażenie minie. Bo pojęciowo rzecz niesłychanie prosta.
Słupki [z1,z2] mogą w istocie przerażać ludzi o skłonnościach artystycznych. Ale: każdy taki słupek wyznacza punkt na sferze. Na przykład słupek [1;0] to biegun północny. Słupek [0;1] to biegun południowy. I tak z każdym słupkiem. Zatem z każdym naszym słupkiem możemy związać punkt na sferze. Lub, jeśli ktoś woli, punkt na kuli ziemskiej. W słupku kodowane są współrzędne geograficzne tego punktu. Prosta procedura przetwarza słupek w szerokość i długość geograficzną. Każdemu słupkowi zatem odpowiada punkt na mapie. Detektor przekształca słupki w słupki – przesuwa punkty na mapie. A przykładowo jak przesuwa? Już to raz pokazywałem w Mechanika kwantowa dla programistów - Struktura mechaniki kwantowej, na przykładzie jednego detektora. Przypomnę z tej notki, choć radzę zajrzeć:
Wziąłem mapę świata w projekcji Mercatora i ustawiłem detektor w środku mapy. Następnie zwiększając dobroć detektora o 5% deformowałem geometrię zgodnie z formułami deformacji przestrzeni stanów spinu. I tak aż do 90%. Przy dalszym zwiększaniu dobroci deformacja staje się tak wielka, że przedstawianie jej mija się z celem, zwłaszcza, że opuszczone na mapie obszaru zaczynają dominować i pojawiają się czarne i białe plamy.
Kto chce, może ściągnąć sobie moją animację (563 KB) stąd. Oto obrazki z niej wzięte dla 0%, 25%, 75%.
Zwykła mechanika kwantowa z popularnych książek, gdy dyskutuje pomiar spinu, w domyśle zajmuje się detektorami o dobroci 100%. Jest oczywiste, że z takimi detektorami otrzymuje się jedynie paradoksy nie do pokonania. Co prowadzi do wniosku, że skoki kwantowe to wymysł. Inni fizycy, np. Penrose, będą nawet dyskutować skoki kwantowe przy pomiarach, ale gdy przychodzi do opisu ilościowego, z formułami, wtedy nabierają wody w usta. Filozofowanie przychodzi znacznie łatwiej niż obliczanie i przewidywanie.
Programista z pewnością zapyta teraz o procedurę przechodzenia od słupków do punktów na mapie. Jest ona prosta. Najpierw słupek normujemy (dzieląc przez normę, jak opisane wyżej). Załóżmy, że słupek [z1,z2] jest już unormowany. Wtedy współrzędne kartezjańskie (r1,r2,r3) punktu na sferze dane są wzorami:
r1 = z1z2*+z2z1*
r2 = i(z1z2*-z2z1*)
r3 = 2z1z1* -1 (= 1-2z2z2*)
Uwaga: Przy przejściu od wektorów stanu [z1;z2] do punktów na sferze (stanów) gubi się faza wektora stanu (całe koło Villarceau - malowałem te koła nie tak dawno)). Nie ma zatem jednoznacznego i ciągłego przejścia odwrotnego. I być nie może - w dziale matematyki zwanym topologią dowodzi się, że istnieje tu obstrukcja.
Faza jest niby (jak na dziś) nieobserwawalna. i nieistotna. Ale czy zawsze taką będzie?
A skąd się te formuły wzięły? Ha, ha. Penrose powinien był te formuły napisać w rozdziale 22.9 lub 29.4 Drogi do Rzeczywistości – ale nie napisał, gdyż nie przewidywał iż ktoś będzie jego dzieło czytał chcąc naprawdę się czegoś nauczyć. Zostaje twórcze zajrzenie do Kryszewskiego! (Zapracowanego i sponiewieranego Trurla odsyłał nie będę, jak zapyta, to grzecznie wyjaśnię).
Ot i po wszystkim. Mamy redukcję. Łatwe i dziecinnie proste. Nawet Roger Penrose tyle to potrafi. Trudniej natomiast będzie z tym procesem denerwowania. Tego Sir Roger, którego nota bene bardzo szanuję i poważam za to, co był zrobił, nie potrafi, zresztą i nie chce potrafić, bo ma braki w wykształceniu (ja zresztą też) i awersję (ja jej aż tak wielkiej nie mam). O denerwowaniu, i o tym jak detektor odwzajemnia się zjadając falę (a może to po prostu złość ją samą zjada). O tym będzie w następnej notce.
Uwaga: Tak naprawdę, to nikt nikogo ani niczego nie zjada, jedynie przetwarza. Jedne rodzaje energii w inne rodzaje energii, energię w informację i informację w energię, przy czym informacja może być wielce specyficznym rodzajem energii. Ale dokładnie co i jak jest przetwarzane, to jest wciąż jeszcze na warsztacie.
Skarga: No i zdenerwowałem się - nie udało mi się w notce zrobić greckiego psi ψ i pierwiastka √ Jak się to robi?
