Doktor, detektor – jedno licho. Zadanie to samo: łagodnie to „kreatywne przedstawianie faktów”, mniej łagodnie to „to rzecznik partii lub polityka zatrudniony po to, by przedstawiać mediom taką wersję wydarzeń, która przy okazji subtelnie wskazuje (korzystną dla zleceniodawcy) ich interpretację.” W naszym przypadku fakty to „wektory stanu”, zatrudnia go zaś nie partia czy polityk, lecz przyroda sama, przyrodoznawca czy eksperymentator. Dla nas, ludzi, detektory stanowią ogniwo pośrednie pomiędzy nagą rzeczywistością a naszą własną percepcją. Zawsze jakoś naginają, naciągają, wielu przyjmuje za fakt to, co widzi, inni, mniej liczni, zastanawiają się nad tym jak wyglądają fakty bez naciągania.
Tyle tytułem wstępu. Teraz do rzeczy. Zacznę omawiać detektory spinu, ale nie od strony praktycznej, bo o rezonansie magnetycznym, nanotechnologii i laserach pisałem w ostatniej notce. Chcę przedstawić najprostszy model detektora, najprostszy moim zdaniem. Ktoś może być innego zdania. Ktoś może twierdzić, że detektory są psu na buty, że zawracam głowę i piszę o rzeczach wymyślonych, których nie ma w żadnym przyzwoitym podręczniku. Fakt, że nie ma, bo podręcznika z detektorami nie napisałem i pewnie, z braku czasu, nie napiszę. Napisałem inny podręcznik za który otrzymałem właśnie ostatnią część wynagrodzenia autorskiego w wysokości 14 Euro (żeby być dokładnym: współautor podręcznika, bo było nas dwóch, też dostał swoje 14 Euro). Wystarczy.
Detektor jest operatorem. Nie darmo mówimy: ale z niego operator! Więc o operatorach muszę troche napisać, ale nie bójcie się, choć szczerzą zęby i warczą, to nie gryzą.
Co operator robi? Operuje na wektorach stanu i przeprowadza je w nowe wektory stanu. Więc muszę zacząć od wektorów stanu. Szczęśliwie nie muszę zaczynać, bo pisałem już trochę o nich w poprzednich notkach. Eine to wszystko wie, więc może odpuścić. Ale jak go znam, to nie odpuści, choćby dlatego, żeby mi cos wytknąć. Tichy tez by zapewne coś wytknął, ale jest zapracowany, a Trurl z Klapaucjuszem przeżywa opieprz od szefa za samowolę w dydaktyce. Prócz Einego mogę więc tylko liczyć na Stanisława i na Ogrodnika. Oni zawsze coś interesującego i nie całkiem na temat dodadzą.
Wektor stanu. Chodzi o wektor stany dla spinu ½. Na przykład dla elektronu. Jak pisałem opisujemy wektor stanu jako słupek z dwóch liczb zespolonych lub z czterech liczb rzeczywistych. Programiści wolą liczby rzeczywiste, Eine ich nie cierpi. Zrobię tym razem układ w stronę Einego i będę operował słupkami zespolonymi. KAP to zniesie, bo w liczbach zespolonych też program można napisać, językowi C i podobnym można kazać na nich liczyć. To, że nie uczą ich w szkole to kryminał.
Słupki niewygodnie w HTML-u się pisze, będę je więc pisał, ku zgrozie Einego i ku uciesze tichego, poziomo
[z1;z2]
Tutaj a jest liczbą zespoloną, b jest liczbą zespoloną. Liczby zespolone można mnożyć przez siebie, dodawać do siebie, także można dzielić a/b, byle tylko mianownik nie był zerem. Matematyk powie: liczby zespolone tworzą „ciało”. W zdrowym ciele – zdrowy duch, a ciało liczb zespolonych jest wyjątkowo zdrowe, najzdrowsze ze wszystkich ciał.
Wśród liczb zespolonych jest jedna szczególna, mianowicie jednostka urojona i, która podniesiona do kwadratu daje, o zgrozo, -1. Może dlatego nie uczą o nich w szkole, bo to wyraźnie wymysł wykształciuchów. W porządnej szkole kwadrat każdej liczby (z wyjątkiem zera, ale to wiadomo, zresztą czy zero istnieje?) jest dodatni.
Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci
z = x +iy
gdzie zarówno x jak i y są „zwykłymi liczbami rzeczywistymi”. Liczba x nazywa się częścią rzeczywistą, zaś y częścią urojona liczby zespolonej z.
Jeśli z = x + iy, wtedy liczbę zespoloną x - iy nazywa się liczbą zespolenie sprzężoną (albo po prostu: sprzężoną) do liczby z. Oznacza się ją symbolem „z - z kreseczką u góry”. Pisanie kreseczek u góry jest niewygodne, dlatego będę pisał z*, zresztą tak się też czasem pisze i w podręcznikach.
Wiedząc, że i w kwadracie to -1, każdy może wymnożyć z przez z* by dostać:
zz* =z*z = x2 + y2.
Ponieważ x,y to liczby rzeczywiste, zatem ich kwadraty są nieujemne i podobnie suma kwadratów. Można więc wyciągnąć z tej sumy kwadratów zwykły pierwiastek kwadratowy. Ten nazywamy modułem lub długością liczby zespolonej i oznaczamy go prze |z|.
Zatem
|z|2 = x2 + y2
Liczbę zespoloną przedstawiamy na płaszczyźnie jako wektor o składowych (x,y).
Pisałem o tym wszystkim już dość dawno, dziś tylko trochę przypominam. Tyle, że wtedy, chcąc dogodzić elektrykom,pisałem j zamiast i. Kat, nazwijmy go tu theta, między wektorem przestawiającym liczbę zespoloną a osią x nazywa się fazą liczby zespolonej:
Nietrudno sprawdzić, że liczbę zespoloną z można wtedy zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:
z = |z|(cos(theta) + i sin(theta)).
Operatory.
Teraz operatory. Podczas gdy wektor to słupek [z1;z2], operator (operatory z reguły, choć będą od tego wyjątki, będę oznaczał literami dużymi) to para wierszyków, tzw. macierz, będę je rozdzielał średnikiem:
A = [a11,a12;a21,a22]. Trzeba sobie wyobrazić, że wierszyk [a21,a22] leży pod wierszykiem [a11,a12]:
[a11 a12]
[a21 a22]
[Nota: Matematyk za napisanie powyższego by mnie z pewnością powiesił na suchej gałęzi. Zawołałby, że operator to operator a nie żadne wierszyki, że wierszyki to tylko „reprezentacja operatora w bazie”. Nam takie rozróżnienie nie będzie tu potrzebne]
Operator nie byłby operatorem, gdyby nie operował. A operuje według reguły działania macierzy na wektor.
Nasz operator operując na słupku [z1;z2] daje w wyniku nowy słupek:
[a11 z1 + a12 z2; a21 z1 + a22 z2]
Zainteresowanych odsyłam do moich notek z przeszłości :Algebra macierzy - Glosariusz terminów żeglarskich cz. 1 i część 2.
Fizycy są, historycznie rzecz biorąc, politeistami. Upodobali sobie czterech głównych bogów. No, powiedzmy Jednego Boga i trzech bożków. Ten Bóg to Jedność, inaczej „operator jednostkowy”, oznaczany prze I. Jeden, ale w dwóch Osobach, bo I to operator (tzw. macierz jednostkowa)
I = [1,0;0,1].
Ten nic nie robi, operując na dowolnym słupku [z1; z2] po prostu wydaje na wyjściu ten słupek [z1;z2]. Czasem nazywa go się tez Operatorem Identycznościowym, albo po prostu Identycznością.
Trzech pomocników, pomniejszych, ale jakże ważnych Aniołów, to tzw. Macierze Pauliego:
sigma1, sigma2, sigma3.
Są także, a jakże, w podręczniku Kryszewskiego, więc je stamtąd kopiuję:
Używając naszych, przyjaznych dla HTML-u oznaczeń zapisalibyśmy je jako
sigma1 = [0,1;1,0]
sigma2 = [0,-i;i,0]
sigma3 = [1,0;0,-1]
Każdy inny operator daje się przez te cztery wyrazić:
A = a I + u sigma1 + v sigma2 + w sigma3
Dlatego Kryszewski używa dla naszej Czwórki Operatorów słowa „baza”. Tutaj a,u,v,w są liczbami (na ogół zespolonymi).
Detektory
Detektor to operator i każdy operator może być jakimś tam detektorem. Tyle, że niektóre operatory jako detektory są nieszczególnie przydatne. Ot, młócą tylko stany, albo markują. Nie będę w to wchodził. Nie interesują nas teraz detektory markujące robotę. Interesują nas detektory z prawdziwego zdarzenia. A detektory z prawdziwego to operatory dodatnie.
Teraz powiem coś, czego być być może ani tichy ani Eine nie wiedzą. Trurl to zapewne wie, ale ma uprzedzenia. Otóż (ot, takie małe twierdzonko)
Każdy operator dodatni D (w przypadku naszego spinu ½) da się w jeden i tylko jeden sposób zapisać w postaci:
D = kappa (I + q n.sigma)
gdzie kappa jest liczbą dodatnią, q jest liczba z przedziału [0,1], n = (n1,n2,n3) – wektorem jednostkowym na sferze, zaś n.sigmajest iloczynem skalarnym: n1 sigma1 + n2 sigma2 + n3 sigma3.
Liczbę kappa (na cześć KAP-a) będę nazywałefektywnością detektora, zaś liczbę q (na cześć elektrotechnika) będę nazywałdobrocią detektora.Nasz detektor wykrywa spin w kierunku n z efektywnością kappa i dobrocią q.
Co do samego twierdzonka, to tichy sobie je w pięć minut wyprowadzi, Eine – oleje, Trurl – powie, że to oczywiste, Stanisław zwymyśla od matematyki a KJW skomentuje, że to jeszcze jedna dyrdymała.
Mam więc detektor spinu – powinien działać podobnie jak z nanotechnologii i rezonansu magnetycznego o którym pisałem i którego zasadę działania przedstawiłem poprzednio.
Parametry kappa i q trzeba dopasować (wykalibrować) do konkretnego przyrządu. Jak się je raz dopasuje, to potem już samo wszystko leci.
Ale co leci? Jak leci? Co robi spin? Co robi detektor? Co robi laborant (być może do spółki z laborantką) Co robi NSA? Co w ogóle z tym modelikiem można zrobić? Jak go używać? I po co go używać? Co z tego mamy? Korzyści jakieś czy tylko matematyczne zawracanie głowy, które ark tak lubi?
O tym – w kolejnych notkach. Od przykładu prostego (pomiar spinu w danym kierunku, jak to się chce robić w komputerkach kwantowach), poprzez efekt Zenona (woda w garnku nie zagotuje się gdy ktoś na nią wytrzeszcza oczy) i dalej do „zasada nieoznaczoności? Ha, ha...” i do sztuki kwantowych fraktali.
