Tak, tak, mechanika kwantowa, jak każdy model kawałka rzeczywistości, ma swoją strukturę. Przez strukturę rozumiem zespół podstawowych pojęć, związki pomiędzy nimi, oraz słowny opis pomagający nam, ludziom, odnieść te pojęcia do rzeczywistości, przetłumaczyć na zrozumiały dla nas język czynów.
Układ fizyczny
Mechanika kwantowa dotyczy układów fizycznych. Układem fizycznym może być elektron, foton, atom, zespół atomów, kryształ, gaz. Podobnie zresztą jak w zwykłej mechanice.
Stany i wektory stanu
Podstawowym pojęciem w mechanice kwantowej jest stan układu. W mechanice klasycznej stan punktu materialnego to para (x,p), gdzie x jest położeniem, zaś p pędem w danej chwili. Znając pęd i położenie w danej chwiil, oraz wszystkie siły działające na cząstkę, możemy, z równań ruchu, wyliczyć całą przyszłą trajektorię, t.j. znaleźć stan w każdej innej chwili. W mechanice kwantowej stan jest opisywany inaczej. Najpierw wprowadzamy wektor stanu. Dla spinu ½ jest to słupek dwóch liczb zespolonych, których sumy kwadratów amplitud dodają się do jedynki – mówimy „unormowany”. Lub czwórka liczb rzeczywistych X,Y,Z,W, których sumy kwadratów dodają się do jedynki. Dla cząstki bez spinu jest to funkcja f(x,y,z) o wartościach zespolonych, też w odpowiedni sposób unormowana. Po czym mówimy, że część informacji zawartej w wektorze stanu jest „nieobserwowalna”. Tak było w przypadku spinu, kiedy malowałem koła Villarceau i pisałem, że całe takie koło jest jednym punktem w przestrzeni stanów. Różne wektory stanu leżące na takim kole opisują ten sam stan.
Czemu tak skomplikowanie? Nie wiemy czemu. Rzecz w tym, że wektory można dodawać do siebie – tworzyć w ten sposób ich superpozycje. Dodawanie jest określone dla wektorów stanu, nie jest zaś określone dla stanów kwantowych. Nieobserwowalna faza okazuje się istotna przy dodawaniu. Superpozycja prowadzi do interferencji, a stąd już niedaleko do słynnego dualizmu korpuskularno-falowego typowego dla mechaniki kwantowej. Dziś mówimy: tak jest, należy to po prostu przyjąć i sprytnie wykorzystać. W przyszłości, gdy naprawdę zrozumiemy o co w tym wszystkim idzie, jak sądzę, będziemy się śmiać z naszej naiwności i ignorancji.
Problem ze stanami i wektorami stanu jest taki, że ciężko je sobie wyobrazić. „Położenie” - każdy z nas rozumie, „prędkość” - także. Ale „słupek” czy „funkcja o wartościach zespolonych”? Nie-matematykowi trudno pod to podłożyć jakieś wyobrażenie, jakąś intuicję. Czasem mówi się nam, że powinniśmy wyobrazić sobie rozmytą falę prawdopodobieństwa. Elektron jest rozmyty, mamy chmurę prawdopodobieństwa zamiast punktu. To dobre dla dzieci, ale nie dla fizyka z krwi i kości, który wie, że gdy elektron ma spin (a ma) mamy słupek funkcji zespolonych, zaś dla pary elektronów ta „fala prawdopodobieństwa” nie jest falą w naszej przestrzeni, lecz falą w bardziej abstrakcyjnej przestrzeni konfiguracyjnej. Przybliżanie więc pojęć mechaniki kwantowej przez fale prawdopodobieństwa czy, dokładniej, „zespolone amplitudy prawdopodobieństwa” pomaga nieco, ale i bywa mylące.
Hamiltonian
Mechanika kwantowa, choć nazywa się „kwantową”, jest przemyślnym pomieszaniem nowego i starego. Podczas gdy „stan” jakiegoś układu opisywany jest sposób kwantowy, to trójwymiarowa przestrzeń, czas i siły działające na układ opisywane są w sposób klasyczny. Z tej klasycznej informacji, po pewnych przeróbkach konstruuje się operator Hamiltona – Hamiltonian. Jest to operator liniowy działający na wektorach stanu. Oznacza się go zwykle symbolem H, nazywa się go też „operatorem energii”. Operator ten służy głownie do dwóch celów:
Po pierwsze można szukać „wartości własnych” tego operatora. Są to liczby interpretowane jako możliwe stacjonarne (nie zmieniające się w czasie) „poziomy energetyczne” układu. Zdarza się, że liczby te są dyskretne, jak np. w elektronie krążącym wokół protonu (atom wodoru) lub w oscylatorze harmonicznym. Mówimy wtedy o skwantowaniu energii. Zdarza się też, że liczby te są rozłożone w sposób ciągły (elektron swobodny, tzn, taki na który nie działają żadne siły). Mówimy wtedy, że widmo energetyczne takiego układu jest ciągłe. Dla atomu wodoru mamy zarówno dyskretne poziomy energetyczne, gdy elektron jest „związany” z jądrem, jak i widmo ciągłe, gdy elektron po prostu rozprasza się na protonie – skądś przychodzi, dokądś odchodzi, tak jak to bywa w astronomii. Są ciała niebieskie które są związane z naszym układem planetarnym, pojawiają się i oddalają periodycznie, są też i inne, przyleciały, odleciały, nigdy więcej się już nie pojawią.
Po drugie Hamiltonian służy do wyliczania przyszłości wektora stanu na podstawie wektora stanu w przeszłości. Zamiast więc równania dynamiki Newtona mamy w mechanice kwantowej „czasowe równanie Schrodingera”.
Obserwable
Nasz układ fizyczny możemy obserwować, dokonywać na nim pomiarów. Możemy w pewnej chwili chcieć zmierzyć położenie, pęd, moment pędu, prędkość, energię. Z każdą z tych wielkości mechanika kwantowa wiąże odpowiedni operator – tzw. obserwablę.. Dla każdej z tych wielkości mechanika kwantowa daje nam formułę na to jaki będzie rozkład statystyczny pomiarów, gdy będziemy je wykonywać wiele razy na układzie kwantowym w tym samym stanie. W szczególności możemy wyliczyć wartości średnie, albo „oczekiwane”. Wyliczenie takie czasem jest łatwe, czasem trudne – są na to recepty matematyczne.
Redukcja wektora stanu
Podręczniki mechaniki kwantowej rzadko kiedy dyskutują szeregi pomiarów następujących jeden po drugim. Zwykle kończy się na jednym i tym samy pomiarze powtarzanym na różnych próbkach układu. Mówi się czasem, że pomiar zaburza układ – ale jak dokładnie zaburza, o tym mówi się rzadziej. Mówi się czasem, że w wyniku pomiaru następuje „skok kwantowy”, nieciągła w czasie zmiana wektora stanu, „redukcja wektora stanu” czy „redukcja paczki falowej”. Ale jaki dokładnie jest mechanizm tej redukcji i jaki jest wynik całego ciągu takich redukcji o tym nawet sam Sir Roger Penrose nie waży się pisać. Typowym przykładem gdy mamy do czynienia z szeregiem następujących po sobie pomiarów jest rejestracja śladu elektronu na kliszy. Nie znam podręcznika w którym mechanizm czasowy tego prostego zjawiska byłby dyskutowany ilościowo. Nie dziwię się temu, bowiem „pomiar” jest czymś o czym w mechanice kwantowej się wiele mówi, ale nigdy nie definiuje w ramach modelu. Przypuszczalnie dlatego, że model jest za wąski. Do takich wniosków doszło wielu fizyków, Wymienię przede wszystkim Johna Bella.
Eine będzie pewnie argumentował, że obraz na kliszy fotograficznej pojawia się dopiero, kiedy pierwsza osoba na zdjęcie popatrzy i uświadomi sobie co na nim jest. Można i tak. Można, ale tak się składa, że nie jest to konieczne.
Detektory
To pojęcie jest pojęciem nowym, nie wchodzącym w strukturę zwykłej mechaniki kwantowej. A jednak na tym pojęciu się skupię w kolejnych notkach. Detektory są, podobnie jak obserwable, reprezentowane przez operatory. Detektory pozwalają na opis ilościowy procesu redukcji wektora stanu i na analizę ciągu następujących po sobie redukcji. Detektory to pomost pomiędzy kwantową rzeczywistością a rzeczywistością ludzką rzeczy namacalnych i opisywalnych w zrozumiały dla nas sposób.
Najprostszy detektor to detektor kierunku spinu. I tym się, póki co, zajmę. Aż dojdę do nowej zasady nieoznaczoności, jak postaram się Was przekonać - znacznie lepszej od zasady nieoznaczoności Heisenberga, a której Heisenberg jest szczególnym mizernym przypadkiem. Póki co, powiem tylko do jakiego gatunku zwierząt detektory należą.
Otóż każdy detektor charakteryzuje się, w szczególności, efektywnością. Dla detektora spinu efektywność detektora zawiera się pomiędzy 0 a 100%. Detektor o efektywności zerowej niczego nie mierzy i niczego nie powoduje. Jest martwy. Detektor o efektywności 10% potrzebuje pewnego czasu by zadziałał. Zaburza za to stan kwantowy układu tylko w nieznacznym stopniu. Detektor o efektywności 20% jest szybszy, ale też bardziej zaburza stan układu – w naszym przypadku układem tym jest po prostu spin.
Czym większą efektywność ma detektor tym większe zaburzenie geometrii stanów kwantowych powoduje. Do liczb i wzorów przejdziemy później. Dziś przedstawię tylko prostą demonstrację graficzną tego efektu. Stany spinu opisywane są punktami na sferze. Obrazowo weźmiemy za sferę naszą kulę ziemską. Biegun północny to spin skierowany ku gwieździe polarnej (no, w przybliżeniu). Każdemu kierunkowi spinu możemy w ten sposób przyporządkować punkt na powierzchni Ziemi. Ponieważ powierzchnię Ziemi trudno namalować w całości, geografowie wymyślili dziesiątki metod przedstawiania sferycznej powierzchni na mapach. Najbardziej popularna jest tzw. projekcja Mercatora. Owija się Ziemię cylindrem i rzutuje się na ten cylinder. Po czym cylinder się rozcina i rozkłada na stole.
Projekcja ta, podobnie zresztą jak i rzut stereograficzny, ma tę przyjemną własność, że choć nie zachowuje odległości i pól powierzchni, to zachowuje kąty. Własność mniej przyjemna to to, że wokół biegunów są pola, które wychodzą poza mapę. Typowo robi się więc mapy świata tylko do 80 (Google w swoich mapach sięga nieco dalej) stopni szerokości geograficznej, północnej i południowej. Kawałek Antarktydy, który jest jeszcze na mapie wygląda jakby był ogromny.
Tak i ja zrobiłem. Wziąłem mapę świata w projekcji Mercatora i ustawiłem detektor w środku mapy. Następnie zwiększając efektywność detektora o 5% deformowałem geometrię zgodnie z formułami deformacji przestrzeni stanów spinu. I tak aż do 90%. Przy dalszym zwiększaniu efektywności deformacja staje się tak wielka, że przedstawianie jej mija się z celem, zwłaszcza, że opuszczone na mapie obszaru zaczynają dominować i pojawiają się czarne i białe plamy.
Kto chce, może ściągnąć sobie moją animację (563 KB) stąd. Oto obrazki z niej wzięte dla 0%, 25%, 75%.
Zwykła mechanika kwantowa z popularnych książek, gdy dyskutuje pomiar spinu, w domyśle zajmuje się detektorami o efektywności 100%. Jest oczywiste, że z takimi detektorami otrzymuje się jedynie paradoksy nie do pokonania. Co prowadzi do wniosku, że skoki kwantowe to wymysł. Inni fizycy, np. Penrose, będą nawet dyskutować skoki kwantowe przy pomiarach, ale gdy przychodzi do opisu ilościowego, z formułami, wtedy nabierają wody w usta. Filozofowanie przychodzi znacznie łatwiej niż obliczanie i przewidywanie.
Formułami zajmę się w następnej notce.
P.S.: Z ostatniej chwili:
Otrzymałem właśnie odpowiedź od Jana Hilgervoorda (tego od Zasady Nieoznaczności w Stanford Encyclopedia of Philosophy). Pisze:
Dear dr Arkadiusz Jadczyk,
I may refer you to the article by Jos Uffink: "The joint measurement
problem", which appeared in the International Journal of Theoretical
Physics, vol. 33 (1994) 199-212.
Best whishes,
Jan Hilgevoord
Znalazłem, że artykuł jest do ściągnięcia stąd:
http://www.phys.uu.nl/igg/jos/jmpabst/jmpabst.html
Zabieram się do studiowania i dam Wam znać co tam znalazłem.
